试题

（2010·闸北区一模）如图，在边长为1的正方形ABCD中，点E在边BC上（与端点不重合），点F在射线DC上．
（1）若AF=AE，并设CE=x，△AEF的面积为y，求y关于x的函数解析式，并写出函数的定义域；
（2）当CE的长度为何值时，△AEF和△ECF相似？
（3）若CE=

1

4

，延长FE与直线AB交于点G，当CF的长度为何值时，△EAG是等腰三角形？

解：（1）在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AB=AD，AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，（2分）
∴BE=DF=1-x，
∴y=S_ABCD-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF，（1分）
∴y=12-

1

2

·1·(1-x)-

1

2

·1·(1-x)-

1

2

x2，
∴y=-

1

2

x2+x（0＜x＜1）．（2分）

（2）①若∠AEF=90°，∵△AEF∽△ECF，
∴∠FAE=∠FEC=∠EAB，∴△ECF∽△ABE，
∴

AE

EC

=

EF

CF

，

EF

CF

=

AE

BE

，
∴

AE

EC

=

AE

BE

，∴CE=BE=

1

2

；（3分）
②当∠AFE=90°，同理可得CF=FD=

1

2

，
∵

CE

CF

=

FD

AD

，∴CE=

1

4

．（2分）

（3）①当AE=GE时，得：AB=BG=1，
∵

CF

BG

=

CE

BE

，CE=

1

4

，
∴

CF

1

=

1

3

，∴CF=

1

3

；（1分）
②当AE=AG时，∵CE=

1

4

，∴AG=AE=

5

4

，
∵

CF

BG

=

CE

BE

，∴

CF

5 4 -1

=

1

3

，∴CF=

1

12

；（1分）
③当AG=EG时，∵CE=

1

4

，∴BG=3CF，EG²=BE²+GB²，
∴(1-3CF)2=(

3

4

)2+(3CF)2，∴CF=

7

96

；（1分）
④当AG=AE时，∵CE=

1

4

，∴AG=AE=

5

4

，
∵

CF

BG

=

CE

BE

，∴

CF

5 4 +1

=

1

3

，
∴CF=

3

4

．（1分）

解：（1）在Rt△ABE和Rt△ADF中，∵AB=AD，AE=AF，
∴Rt△ABE≌Rt△ADF，（2分）
∴BE=DF=1-x，
∴y=S_ABCD-S_△ABE-S_△ADF-S_△CEF，（1分）
∴y=12-

1

2

·1·(1-x)-

1

2

·1·(1-x)-

1

2

x2，
∴y=-

1

2

x2+x（0＜x＜1）．（2分）

（2）①若∠AEF=90°，∵△AEF∽△ECF，
∴∠FAE=∠FEC=∠EAB，∴△ECF∽△ABE，
∴

AE

EC

=

EF

CF

，

EF

CF

=

AE

BE

，
∴

AE

EC

=

AE

BE

，∴CE=BE=

1

2

；（3分）
②当∠AFE=90°，同理可得CF=FD=

1

2

，
∵

CE

CF

=

FD

AD

，∴CE=

1

4

．（2分）

（3）①当AE=GE时，得：AB=BG=1，
∵

CF

BG

=

CE

BE

，CE=

1

4

，
∴

CF

1

=

1

3

，∴CF=

1

3

；（1分）
②当AE=AG时，∵CE=

1

4

，∴AG=AE=

5

4

，
∵

CF

BG

=

CE

BE

，∴

CF

5 4 -1

=

1

3

，∴CF=

1

12

；（1分）
③当AG=EG时，∵CE=

1

4

，∴BG=3CF，EG²=BE²+GB²，
∴(1-3CF)2=(

3

4

)2+(3CF)2，∴CF=

7

96

；（1分）
④当AG=AE时，∵CE=

1

4

，∴AG=AE=

5

4

，
∵

CF

BG

=

CE

BE

，∴

CF

5 4 +1

=

1

3

，
∴CF=

3

4

．（1分）