试题

（2005·海南）如图所示，正方形ABCD的边长为1，G为CD边上的一个动点（点G与C、D不重合），以CG为一边向正方形ABCD外作正方形GCEF，连接DE交BG的延长线于H．
（1）求证：①△BCG≌△DCE；②BH⊥DE．
（2）试问当点G运动到什么位置时，BH垂直平分DE？请说明理由．

（1）证明：在正方形ABCD中，∠BCG=90°，BC=CD
在正方形GCEF中，∠DCE=90°，CG=CE
在△BCG和△DCE中，

BC=DC ∠BCG=∠DCE CG=CE

∴△BCG≌△DCE（SAS）
∴∠1=∠2∵∠2+∠DEC=90°
∴∠1+∠DEC=90°
∴∠BHD=90°
∴BH⊥DE；

（2）解：当GC=

2

-1时，BH垂直平分DE．理由如下：
连接EG
∵BH垂直平分DE
∴EG=DG
设CG=x
∵CE=CG，∠DCE=90°
∴EG=

2

x，DG=

2

x
∵DG+CG=CD
x+

2

x=1解得x=

2

-1
∴GC=

2

-1时，BH垂直平分DE．
（1）证明：在正方形ABCD中，∠BCG=90°，BC=CD
在正方形GCEF中，∠DCE=90°，CG=CE
在△BCG和△DCE中，

BC=DC ∠BCG=∠DCE CG=CE

∴△BCG≌△DCE（SAS）
∴∠1=∠2∵∠2+∠DEC=90°
∴∠1+∠DEC=90°
∴∠BHD=90°
∴BH⊥DE；

（2）解：当GC=

2

-1时，BH垂直平分DE．理由如下：
连接EG
∵BH垂直平分DE
∴EG=DG
设CG=x
∵CE=CG，∠DCE=90°
∴EG=

2

x，DG=

2

x
∵DG+CG=CD
x+

2

x=1解得x=

2

-1
∴GC=

2

-1时，BH垂直平分DE．