试题

题目：
青果学院（2006·湖州）已知Rt△ABC中，∠B=90°．
（1）根据要求作图（尺规作图，保留作图痕迹，不写画法）．
①作∠BAC的平分线AD交BC于D；
②作线段AD的垂直平分线交AB于E，交AC于F，垂足为H；
③连接ED．
（2）在（1）的基础上写出一对相似比不为1的相似三角形和一对全等三角形：
△
AHF
AHF
∽△
ABD
ABD
；△
AHF
AHF
≌△
AHE
AHE
．
并选择其中一对加以证明．
答案
AHF

ABD

AHF

AHE

解：（1）如图所示；青果学院

（2）相似三角形有：△AHF∽△ABD；△AHE∽△ABD；△DHE∽△ABD；△BDE∽△BCA等．
全等三角形有：△AHF≌△AHE；△AHE≌△DHE；△AHF≌△DHE．
证明：在△AHF和△ABD中
∵FH⊥AD，∴∠AHF=90°
∵∠B=90°，∠CAD为公共角
∴△AHF∽△ABD．
考点梳理
作图—基本作图；直角三角形全等的判定；相似三角形的判定．
利用尺规作图，根据相似三角形的判定定理，从图中可看出相似三角形有很多组，再根据全等三角形的判定条件，例如ASA可判断△AHF≌△AHE．
本题考查了尺规作图法，相似三角形的判定定理，全等三角形的判定定理，范围比较广．
作图题；开放型．
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