试题

（2009·辽宁）有两张完全重合的矩形纸片，小亮同学将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD、MF，若此时他测得BD=8cm，∠ADB=30度．
（1）试探究线段BD与线段MF的关系，并简要说明理由；
（2）小红同学用剪刀将△BCD与△MEF剪去，与小亮同学继续探究．他们将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB₁D₁，AD₁交FM于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK为等腰三角形时，请直接写出旋转角β的度数；
（3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A₂F₂M₂（如图3），F₂M₂与AD交于点P，A₂M₂与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离是多少？

解：（1）BD=MF，BD⊥MF．（1分）
延长FM交BD于点N，
由题意得：△BAD≌△MAF．
∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．（2分）
又∵∠DMN=∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠DNM=90°，∴BD⊥MF．（3分）

（2）当AK=FK时，∠KAF=∠F=30°，
则∠BAB₁=180°-∠B₁AD₁-∠KAF=180°-90°-30°=60°，
即β=60°；
②当AF=FK时，∠FAK=

180°-∠F

2

=75°，
∴∠BAB₁=90°-∠FAK=15°，
即β=15°；
∴β的度数为60°或15°（答对一个得2分）（7分）

（3）由题意得矩形PNA₂A．设A₂A=x，则PN=x（如图3），
在Rt△A₂M₂F₂中，∵F₂M₂=FM=8，
∴A₂M₂=4，A₂F₂=4

3

，∴AF₂=4

3

-x．
∵∠PAF₂=90°，∠PF₂A=30°，
∴AP=AF₂·tan30°=4-

3

3

x．
∴PD=AD-AP=4

3

-4+

3

3

x．
∵NP∥AB，∴∠DNP=∠B．
∵∠D=∠D，∴△DPN∽△DAB．（9分）
∴

PN

AB

=

DP

DA

．（10分）
∴

x

4

=

4 3 -4+ 3 3 x

4 3

，解得x=6-2

3

．（11分）
即A₂A=6-2

3

．
答：平移的距离是（6-2

3

）cm．（12分）
解：（1）BD=MF，BD⊥MF．（1分）
延长FM交BD于点N，
由题意得：△BAD≌△MAF．
∴BD=MF，∠ADB=∠AFM．（2分）
又∵∠DMN=∠AMF，
∴∠ADB+∠DMN=∠AFM+∠AMF=90°，
∴∠DNM=90°，∴BD⊥MF．（3分）

（2）当AK=FK时，∠KAF=∠F=30°，
则∠BAB₁=180°-∠B₁AD₁-∠KAF=180°-90°-30°=60°，
即β=60°；
②当AF=FK时，∠FAK=

180°-∠F

2

=75°，
∴∠BAB₁=90°-∠FAK=15°，
即β=15°；
∴β的度数为60°或15°（答对一个得2分）（7分）

（3）由题意得矩形PNA₂A．设A₂A=x，则PN=x（如图3），
在Rt△A₂M₂F₂中，∵F₂M₂=FM=8，
∴A₂M₂=4，A₂F₂=4

3

，∴AF₂=4

3

-x．
∵∠PAF₂=90°，∠PF₂A=30°，
∴AP=AF₂·tan30°=4-

3

3

x．
∴PD=AD-AP=4

3

-4+

3

3

x．
∵NP∥AB，∴∠DNP=∠B．
∵∠D=∠D，∴△DPN∽△DAB．（9分）
∴

PN

AB

=

DP

DA

．（10分）
∴

x

4

=

4 3 -4+ 3 3 x

4 3

，解得x=6-2

3

．（11分）
即A₂A=6-2

3

．
答：平移的距离是（6-2

3

）cm．（12分）