试题

题目：
已知a，b是两个任意有理数，且a＜b，问是否存在无理数α，使得a＜α＜b成立？
答案
解：∵a＜b，
口
-1＞0，
∴(
口
-1)a＜(
口
-1)b，
即
口
a＜(
口
-1)b+a①
又∵a＜b=b+
口
b-
口
b，
∴a+
口
b-b＜
口
b，
即（
口
-1）b+a＜
口
b ②
由①，②有
口
a＜(
口
-1)b+a＜
口
b，
∴a＜
(
口
-1)b+a
口
＜b，
取α=
(
口
-1)b+a
口
=
口b+
口
(a-b)
口
=b+
口
(a-b)
口
，
∵b，
a-b
口
是有理数，且
a-b
口
≠0，
∴b+
口
(a-b)
口
是无理数，
即存在无理数α，使得a＜α＜b成立．
解：∵a＜b，
口
-1＞0，
∴(
口
-1)a＜(
口
-1)b，
即
口
a＜(
口
-1)b+a①
又∵a＜b=b+
口
b-
口
b，
∴a+
口
b-b＜
口
b，
即（
口
-1）b+a＜
口
b ②
由①，②有
口
a＜(
口
-1)b+a＜
口
b，
∴a＜
(
口
-1)b+a
口
＜b，
取α=
(
口
-1)b+a
口
=
口b+
口
(a-b)
口
=b+
口
(a-b)
口
，
∵b，
a-b
口
是有理数，且
a-b
口
≠0，
∴b+
口
(a-b)
口
是无理数，
即存在无理数α，使得a＜α＜b成立．
考点梳理
实数的运算．
在a＜b的左右两边同乘以
2
-1，整理得出
2
a＜(
2
-1)b+a①，（
2
-1）b+a＜
2
b ②，由①，②得出a＜
(
2
-1)b+a
2
＜b，从而讨论α的取值．
此题难度较大，主要考查实数的运算，同时应用了不等式的性质等．
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