试题

题目：
设x1，x2，x3，…，x40是正整数，且x1+x2+x3+…+x40=58，则x12+x22+x32+…+x402的最大值和最小值为（　　）



答案
A
解：把58分写成40个正整数和的写法只有有限种，x12+x22+…+x402的最大值和最小值是存在的．
不妨设x1≤x2≤…≤x40，若x1＞1，则x1+x2=（x1-1）+（x2+1），且
（x1-1）2+（x2+1）2=x12+x22+2（x2-x1）+2＞x12+x22
所以，当x1＞1时，把x1调到1，这时，x12+x22+x32+…+x402将增大；
同样，可把x2，x3…x39逐步调至1，这时，x12+x22+x32+…+x402将增大，于是，当x1，x2…x39均为1，x40=19时，x12+x22+x32+…+x402将取最大值，即
A=1×39+192=400．
若存在两数xi，xj，使得xj-xi≥2（1≤i＜j≤40），则
（xi+1）2+（xj-1）2=xi2+xj2-2（xi-xj-1）＜x12+x22
所以在x1，x2，x3，…，x40中，若两数差大于1，则较小数加1，较大数减1，这时，
x12+x22+x32+…+x402将减小
所以当有22个是1，18个是2时x12+x22+x32+…+x402将取最小值，即
B=1×22+22×18=94
故最大值为400，最小值为94．
故A项正确，故选A．
考点梳理
有理数的混合运算．
把58分写成40个正整数和的写法只有有限种，x12+x22+x32+…+x402的最大值和最小值是存在的．
①设x1≤x2≤…≤x40，由（x1-1）2+（x2+1）2＞x12+x22，所以，当x1＞1时，把x1调到1，这时，x12+x22+…+x402将增大，所以可以求出最大值．②若存在两数xi，xj，使得xj-xi≥2（1≤i＜j≤40），根据（xi+1）2+（xj-1）2=xi2+xj2-2（xi-xj-1）＜x12+x22，所以在x1，x2，x3，…，x40中，若两数差大于1，则较小数加1，较大数减1，这时，x12+x22+x32+…+x402将减小，可以求出最小值．
①本题综合了数的拆分以及不等式的性质，属于有理数的综合运算，总的来说比较难，要求平时对基本的知识非常熟练地掌握．
②本题作为选择题有其特殊的解法，一般情况下如果做不出来或者没有思路可以采用赋值法，然后进行排除找到答案．
压轴题．
找相似题