试题

一个机器人从平面直角坐标系原点出发，按下列程序运动：第一次先沿x轴正方向前进3步，再沿y轴正方向前进3步到达A₁（3，3）点；第二次运动是由A₁点先沿x轴的负方向前进2步，再沿y轴负方向前进2步到达A₂（1，1）点；第三次运动是由A₂点先沿x轴正方向前进3步，再沿y轴正方向前进3个步到达A₃点；第四次运动是由A₃点先沿x轴的负方向前进2步，再沿y轴负方向前进2步到达A₄点；…，以后的运动按上述程序交替进行．已知该机器人每秒走1步，且每步的距离为1个单位．
（1）若第30秒时它到达点A_k，则k=；
（2）该机器人到达点A₉₉时，一共运动了秒，A₉₉的坐标是．

解：（1）∵第一次先沿x轴正方向前进3步，再沿y轴正方向前进3步到达A₁（3，3）点；
第二次运动是由A₁点先沿x轴的负方向前进2步，再沿y轴负方向前进2步到达A₂（1，1）点；
第三次运动是由A₂点先沿x轴正方向前进3步，再沿y轴正方向前进3个步到达A₃点；
第四次运动是由A₃点先沿x轴的负方向前进2步，再沿y轴负方向前进2步到达A₄点；
…，该机器人每秒走1步，且每步的距离为1个单位，
∴机器人运动时间为：6秒，4秒交替进行，∵6+4+6+4+6+4=30，
∴第30秒时它到达点A_k，则k=6，
（2）∴该机器人到达点A₉₉时，一共运动了：6+4+6+4+…+4+6=6×50+4×49=496秒．
∵第1次运动后坐标为：（3，3），第2次运动后坐标为：（1，1），第3次运动后坐标为：（4，4），第4次运动后坐标为：（2，2），第5次运动后坐标为：（5，5），第6次运动后坐标为：（3，3），
∴第8次坐标为：（4，4），即偶数次从第2次开始是连续的自然数，
∴A₉₈的坐标是：（49，49），
∴A₉₉的坐标是：（52，52），
故答案为：6；496，（52，52）．