试题

阅读下列材料，解答下列问题
如图（1），射线AD、BE、CF构成∠1、∠2、∠3，若∠BAC+∠ABC+∠ACB=180°，则∠1+∠2+∠3=；
因为∠2=180°-∠ACB，∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC
所以∠2=180°-（180°-∠BAC-∠ABC）
=∠BAC+∠ABC
因为∠2=∠ACE，即：∠ACE=∠BAC+∠ABC

如图（2），在△ABC中，∠A=a，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，得∠A₁；∠A₁BC与∠A₁CD的平分线相交于点A₂，得∠A₂；…；∠A₆BC与∠A₆CD的平分线相交于点A₇，得∠A₇=；∠A_n-1BC与∠A_n-1CD的平分线相交于点A_n，得∠A_n，求∠A_n（写出推理过程）．

解：∵∠1=∠BAC+∠ACB，∠2=∠BAC+∠ABC，∠3=∠ACB+∠ABC，
∠1+∠2+∠3=2∠BAC+2∠ABC+2∠ACB=2×180°=360°；

根据题意，得∠ACD=∠BAC+∠ABC，
∵∠ABC与∠ACD的平分线交于点A₁，
∴

1

2

α+

1

2

∠ABC=∠A₁+

1

2

∠ABC，即：∠A₁=

1

2

α；
以此类推，得∠A₂=

α

22

； …；∠A₇=

α

27

=

α

128

，
∴∠A_n=

α

2n

．
故答案为：360°，

a

27

．