试题

如图，已知同一平面内，∠AOB=90°，∠AOC=60°．
（1）填空：∠COB=；
（2）如OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，直接写出∠DOE的度数为；
（3）试问在（2）的条件下，如果将题目中∠AOC=60°改成∠AOC=2α（α＜45°），其他条件不变，你能求出∠DOE的度数吗？若能，请你写出求解过程；若不能，请说明理由．

解：
（1）分为两种情况：：①如图1，当射线OC在∠AOB内部时，
∠COB=∠AOB-∠AOC=90°-60°=30°；
②如图2，当射线OC在∠AOB外部时，
∠COB=∠AOB+∠AOC=90°+60°=150°；
故答案为：150°或30°．

（2）解：在图3中，∵∠AOB=90°，∠AOC=60°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠DOC=

1

2

∠BOC=

1

2

×30°=15°，∠COE=

1

2

∠AOC=

1

2

×60°=30°，
∴∠DOE=∠COD+∠COE=15°+30°=45°；
在图4中，∵∠AOB=90°，∠AOC=60°，OD平分∠BOC，OE平分∠AOC，
∴∠DOC=

1

2

∠BOC=

1

2

×（90°+60°）=75°，∠COE=

1

2

∠AOC=

1

2

×60°=30°，
∴∠DOE=∠COD-∠COE=75°-30°=45°；
故答案为：45°．

（3）能求出∠DOE的度数，
①当OC在∠AOB内部时，如图3，
∵∠AOB=90°，∠AOC=2α°，
∴∠BOC=∠AOB-∠AOC=90°-2α°，
∵OD、OE分别平分∠BOC，∠AOC，
∴∠DOC=

1

2

∠BOC=45°-α°，∠COE=

1

2

∠AOC=α°，
∴∠DOE=∠DOC+∠COE=（45°-α°）+α°=45°；
②当OC在∠AOB外部时，如图4，
∵∠AOB=90，∠AOC=2α°，
∴∠BOC=∠AOB+∠AOC=90°+2α°，
∵OD、OE分别平分∠BOC，∠AOC，
∴∠DOC=

1

2

∠BOC=45°+α°，∠COE=

1

2

∠AOC=α°，
∴∠DOE=∠DOC-∠COE=（45°+α°）-α°=45°；
综合上述，∠DOE=45°．