试题
题目:
实数a,b满足a
3
+b
3
+3ab=1,则a+b=
1或-2
1或-2
.
答案
1或-2
解:由题意得:(a+b)(a
2
+b
2
-ab)+3ab=1
(a+b)[(a+b)
2
-3ab]+3ab=1
(a+b)(a+b)
2
-3ab(a+b)+3ab-1=0
[(a+b)
3
-1]-3ab(a+b-1)=0
(a+b-1)[(a+b)
2
+1+a+b]-3ab(a+b-1)=0
(a+b-1)[(a+b)
2
+1+a+b-3ab]=0
∴(a+b-1)=0或(a+b)
2
+1+a+b-3ab=0,
由(a+b)
2
-3ab+(a+b)+1=0整理得:a
2
-(b-1)a+(b
2
+b+1)=0,
又∵a,b是实数,所以上述方程有实数解,
dalta=(b-1)
2
-4(b
2
+b+1)≥0
也就是:(b+1)
2
≤0,
故:b=-1,代入上式解得a=-1,
所以此时a+b=-2;
综上所述可得:a+b=1或a+b=-2.
故答案为:1或-2.
考点梳理
考点
分析
点评
专题
立方公式;代数式求值.
先将立方和公式展开,然后移项提取公因式,从而讨论因式为0的情况,注意在讨论[(a+b)
2
+1+a+b]-3ab(a+b-1)=0要用到根的判别式.
本题考查了立方公式的知识,中间结合了完全平方式及根的判别式,难度较大,注意细心解答.
计算题.
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