试题

题目：
青果学院如下图所示，边长分别为a，b的两个正方形拼在一起，用代数式表示图中阴影部分的面积，并求a=8，b=5时，阴影部分的面积．
答案
青果学院解：如图所示，
在边长分别为a，b的两个正方形中，阴影部分的面积为S=S△ACD+S△CDF，
根据三角形的相似，可得
AB
AE
=
BD
EF
，
又AB=BC=a，BE=EF=b，
所以AE=a+b，
即
a
a+b
=
BD
b
，
解得：BD=
ab
a+b

则CD=BC-BD=a-
ab
a+b
=
a2
a+b
，
∴S△ACD=
1
2
×AB×CD=
1
2
×a×
a2
a+b
=
a3
2(a+b)
，
S△CDF=
1
2
×FG×CD=
1
2
×b×
a2
a+b
=
a2b
2(a+b)
，
所以阴影部分的面积为S=
a3
2(a+b)
+
a2b
2(a+b)
=
a2
2
；
当a=8，b=5时，阴影部分的面积为S=
64
2
=32．
青果学院解：如图所示，
在边长分别为a，b的两个正方形中，阴影部分的面积为S=S△ACD+S△CDF，
根据三角形的相似，可得
AB
AE
=
BD
EF
，
又AB=BC=a，BE=EF=b，
所以AE=a+b，
即
a
a+b
=
BD
b
，
解得：BD=
ab
a+b

则CD=BC-BD=a-
ab
a+b
=
a2
a+b
，
∴S△ACD=
1
2
×AB×CD=
1
2
×a×
a2
a+b
=
a3
2(a+b)
，
S△CDF=
1
2
×FG×CD=
1
2
×b×
a2
a+b
=
a2b
2(a+b)
，
所以阴影部分的面积为S=
a3
2(a+b)
+
a2b
2(a+b)
=
a2
2
；
当a=8，b=5时，阴影部分的面积为S=
64
2
=32．
考点梳理
列代数式；代数式求值；三角形的面积．
本题可先根据三角形的相似求出BD的长，从而在正方形中得出CD的长，然后利用三角形的面积计算公式（S=
1
2
×底×高）得出所求阴影部分的面积．本题的阴影面积可以看做两部分（三角形ACD和三角形CDF）的和，分别计算这两部分，然后求和即为所求的阴影面积．
本题综合考查了列代数式、代数式求值和三角形面积的计算等知识，做这类题时一定要把图画出来，利用数形结合的思想解题．
应用题；数形结合．
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