试题

如图，已知矩形ABCD，
（1）用没有刻度的直尺和圆规分别在AD和BC上找一个点E、F，使得四边形BEDF为一个菱形（不写作法，保留作图痕迹），并给出证明．
（2）若AD=8，CD=6，求此菱形边长BE和对角线EF的长度．

解：（1）连接BD，作BD的垂直平分线交AD、BC与E、F，连接BE，DF即可；
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BE=ED，BF=DF，OB=OD，∠EOD=∠FOB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
在△EOD和△FOB中
∵

∠EDO=∠FBO BO=DO ∠EOD=∠FOB

，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴ED=BF，
∴BE=ED=DF=BF，
∴四边形EBFD是菱形；
（2）设BE=x，则ED=x，AE=8-x，
在Rt△AEB中：
∵BE²=AE²+AB²，
∴x²=（8-x）²+6²，
解得：x=

25

4

，
∴BE=

25

4

，
在Rt△ADB中：
∵BD²=AB²+AD²，
∴BD=

82+62

=10，
∴BO=5，
∴EO=

BE2-BO2

=

( 25 4 )2-52

=

15

4

，
∴EF=

15

2

．
解：（1）连接BD，作BD的垂直平分线交AD、BC与E、F，连接BE，DF即可；
∵EF是BD的垂直平分线，
∴BE=ED，BF=DF，OB=OD，∠EOD=∠FOB=90°，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AD∥BC，
∴∠ADB=∠CBD，
在△EOD和△FOB中
∵

∠EDO=∠FBO BO=DO ∠EOD=∠FOB

，
∴△EOD≌△FOB（ASA），
∴ED=BF，
∴BE=ED=DF=BF，
∴四边形EBFD是菱形；
（2）设BE=x，则ED=x，AE=8-x，
在Rt△AEB中：
∵BE²=AE²+AB²，
∴x²=（8-x）²+6²，
解得：x=

25

4

，
∴BE=

25

4

，
在Rt△ADB中：
∵BD²=AB²+AD²，
∴BD=

82+62

=10，
∴BO=5，
∴EO=

BE2-BO2

=

( 25 4 )2-52

=

15

4

，
∴EF=

15

2

．