试题

题目：
先观察下列等式，再完成题后问题：
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
4×5
=
1
4
-
1
5

（1）请你猜想：
1
2010×2011
=
1
2010
-
1
2011
1
2010
-
1
2011
．
（2）若a、b为有理数，且|a-1|+（ab-2）2=0，求：
1
ab
+
1
(a+1)(b+1)
+
1
(a+2)(b+2)
+…+
1
(a+2009)(b+2009)
的值．
答案
1
2010
-
1
2011

解：（1）
1
2010×2011
=
1
2010
-
1
2011
（2分）

（2）∵|a-1|+（ab-2）2=0，
∴a-1=0，ab-2=0，
∴a=1，b=2（2分）
原式=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
2010
-
1
2011
（2分）
=
2010
2011
．（1分）
考点梳理
有理数的混合运算；非负数的性质：绝对值；非负数的性质：偶次方．
（1）根据 
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
1
4×5
=
1
4
-
1
5
，…则
1
2010×2011
=
1
2010
-
1
2011
；
（2）先根据非负数的性质得出a、b的值，代入原式变形为 1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+
1
3
-
1
4
…+
1
2010
-
1
2011
是解题的关键．
考查了有理数的混合运算，通过观察，分析、归纳并发现其中的规律，并应用发现的规律解决问题是应该具备的基本能力．本题的关键规律为
1
x(x+1)
=
1
x
-
1
x+1
．
规律型．
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