试题

小杨从商店买来一个电热毯，电热毯有两档，使用高档时单位时间发热量为使用低档时单位时间发热量的两倍．电热毯内部电路结构是什么样的呢？
（1）小杨的猜想如图所示．R₁和R₂为电阻丝的电阻，S为开关．S与a连通时电热毯处于高档，S与b连通时电热毯处于低档．你认为小杨的猜想成立吗？如果你认为小杨的猜想不成立，请说明理由．如果你认为小杨的猜想成立，试找出R₁和R₂的大小关系．
（2）在讨论中，小王同学提出了另外一种猜想，大家一致认为小王的猜想合理，小王猜想的电路也有两个电阻：R₃和R₄．请你画出小王猜想的电路图，并且找出R₃和R₄的大小关系（写出分析过程）．

解：（1）小杨的猜想中，两根均应为电热丝，在S接在不同位置时，两电热丝分别发热；因电热毯面积较大，并且要求电热毯的各部分均应发热，故需要将电热丝分布在整个毯内，故需要的电热丝的长度增大，电热毯的成本将增大，同时，在使用时，两电阻丝有可能发生接触现象，故绝缘性能要求增高，同样增大了成本，故小杨的猜想不符合实际情况；
（2）小王的猜想中应只使用一根电热丝，另一电阻与电热丝串联，并且用一开关与该电阻并联；当使用高档时，开关闭合，电热丝直接接在电源两端；
当使用低档时，开关断开，两电阻串联，则电热丝两端的电压减小，功率减小；则可实现设计要求；
故原理图如图：

由P=

U2

R

可得，最大功率P_最大=

U2

R3

，
最小功率P_最小=

U2

R3+R4

，
由题意可知：

P最大

P最小

=

2

1

；
故可得：R₃+R₄=2R₃，
即R₄=R₃；
R₃与R₄两电阻的阻值相等．
解：（1）小杨的猜想中，两根均应为电热丝，在S接在不同位置时，两电热丝分别发热；因电热毯面积较大，并且要求电热毯的各部分均应发热，故需要将电热丝分布在整个毯内，故需要的电热丝的长度增大，电热毯的成本将增大，同时，在使用时，两电阻丝有可能发生接触现象，故绝缘性能要求增高，同样增大了成本，故小杨的猜想不符合实际情况；
（2）小王的猜想中应只使用一根电热丝，另一电阻与电热丝串联，并且用一开关与该电阻并联；当使用高档时，开关闭合，电热丝直接接在电源两端；
当使用低档时，开关断开，两电阻串联，则电热丝两端的电压减小，功率减小；则可实现设计要求；
故原理图如图：

由P=

U2

R

可得，最大功率P_最大=

U2

R3

，
最小功率P_最小=

U2

R3+R4

，
由题意可知：

P最大

P最小

=

2

1

；
故可得：R₃+R₄=2R₃，
即R₄=R₃；
R₃与R₄两电阻的阻值相等．