试题

（2012·乐山模拟）在锐角△ABC中，AB=AC，∠A使关于x的方程

1

4

x²-sinA·x+

3

sinA-

3

4

=0有两个相等的实数根．
（1）判断△ABC的形状；
（2）设D为BC上的一点，且DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若DE=m，DF=n，且3m=4n和m²+n²=25，求AB的长．

解：（1）∵关于x的方程

1

4

x²-sinA·x+

3

sinA-

3

4

=0有两个相等的实数根，
∴b²-4ac=sin²A-4×

1

4

（

3

sinA-

3

4

）=0，
则（sinA-

3

2

）²=0，
故sinA-

3

2

=0，
即sinA=

3

2

，
解得：∠A=60°，
又∵AB=AC，
∴△ABC的形状为等边三角形；

（2）解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠BED=∠CFD=90°，∴∠EDB=∠FDC=30°，
∵DE=m，DF=n，且3m=4n和m²+n²=25，
∴m=

4n

3

，
∴（

4n

3

）²+n²=25，
解得：n=3，则m=4，
∴DE=4，DF=3，
∵cos30°=

ED

BD

，
∴BD=

ED

cos30°

=

4

3 2

=

8 3

3

，
∵cos30°=

DF

DC

，
∴CD=

DF

cos30°

=2

3

，
∴BC=

8 3

3

+2

3

=

14 3

3

，
则AB的长为

14

3

3

．
解：（1）∵关于x的方程

1

4

x²-sinA·x+

3

sinA-

3

4

=0有两个相等的实数根，
∴b²-4ac=sin²A-4×

1

4

（

3

sinA-

3

4

）=0，
则（sinA-

3

2

）²=0，
故sinA-

3

2

=0，
即sinA=

3

2

，
解得：∠A=60°，
又∵AB=AC，
∴△ABC的形状为等边三角形；

（2）解：∵△ABC为等边三角形，
∴∠B=∠C=60°，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠BED=∠CFD=90°，∴∠EDB=∠FDC=30°，
∵DE=m，DF=n，且3m=4n和m²+n²=25，
∴m=

4n

3

，
∴（

4n

3

）²+n²=25，
解得：n=3，则m=4，
∴DE=4，DF=3，
∵cos30°=

ED

BD

，
∴BD=

ED

cos30°

=

4

3 2

=

8 3

3

，
∵cos30°=

DF

DC

，
∴CD=

DF

cos30°

=2

3

，
∴BC=

8 3

3

+2

3

=

14 3

3

，
则AB的长为

14

3

3

．