试题

已知二次根式

2x2+2

．
（1）当x=2时，以

2x2+2

的值为斜边构造等腰直角三角形，求直角边的长．
（2）若x是正数，

2x2+2

是整数，求x的最小值．
（3）若

2x2+2

和

x2+x+4

是两个最简二次根式，且是同类二次根式，求x的值．

解：（1）当x=2时，

2x2+2

=

2×22+2

=

10

，
∴直角边长=

10

·sin45°=

10

×

2

2

=

5

；
（2）由于

2x2+2

=

2(x2+1)

若

2x2+2

是整数，当x最小时，x²+1=2
解得：x=±1，
∵x是正数，
∴x=1，即x最小值为1；
（3）由题意得：2x²+2=x²+x+4，
x²-x-2=0，
（x+1）（x-2）=0，
∴x₁=-1，x₂=2，
经检验x₂=2符合题意．
解：（1）当x=2时，

2x2+2

=

2×22+2

=

10

，
∴直角边长=

10

·sin45°=

10

×

2

2

=

5

；
（2）由于

2x2+2

=

2(x2+1)

若

2x2+2

是整数，当x最小时，x²+1=2
解得：x=±1，
∵x是正数，
∴x=1，即x最小值为1；
（3）由题意得：2x²+2=x²+x+4，
x²-x-2=0，
（x+1）（x-2）=0，
∴x₁=-1，x₂=2，
经检验x₂=2符合题意．