试题

题目：
已知sinα+cosα=
17
13
，且0°＜α＜45°，求sinα的值．
答案
解：∵sinα+cosα=
17
13
，
∴（sinα+cosα）2=
289
169
，即sin2α+cos2α+2sinα·cosα=
289
169
，
而sin2α+cos2α=1，
∴2sinα·cosα=
120
169
，
∴1-2sinα·cosα=
49
169
，即sin2α+cos2α-2sinα·cosα=
49
169
，
∴（sinα-cosα）2=
49
169
，
∵0°＜α＜45°，
∴sinα＜cosα，
∴sinα-cosα=-
7
13
，
而sinα+cosα=
17
13
，
∴2sinα=
10
13
，
∴sinα=
5
13
．
解：∵sinα+cosα=
17
13
，
∴（sinα+cosα）2=
289
169
，即sin2α+cos2α+2sinα·cosα=
289
169
，
而sin2α+cos2α=1，
∴2sinα·cosα=
120
169
，
∴1-2sinα·cosα=
49
169
，即sin2α+cos2α-2sinα·cosα=
49
169
，
∴（sinα-cosα）2=
49
169
，
∵0°＜α＜45°，
∴sinα＜cosα，
∴sinα-cosα=-
7
13
，
而sinα+cosα=
17
13
，
∴2sinα=
10
13
，
∴sinα=
5
13
．
考点梳理
互余两角三角函数的关系．
把已知条件两边平方得到sin2α+cos2α+2sinα·cosα=
289
169
，再利用sin2α+cos2α=1，则2sinα·cosα=
120
169
，所以sin2α+cos2α-2sinα·cosα=
49
169
，即（sinα-cosα）2=
49
169
，当0°＜α＜45°，sinα＜cosα，于是sinα-cosα=-
7
13
，加上sinα+cosα=
17
13
，利用加减法即可求得sinα．
本题考查了互余两角三角函数的关系：在直角三角形中，∠A+∠B=90°时，正余弦之间的关系为：①一个角的正弦值等于这个角的余角的余弦值，即sinA=（90°-∠A）；②一个角的余弦值等于这个角的余角的正弦值，即cosA=sin（90°-∠A）．也考查了锐角三角函数的性质．
计算题．
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