试题

已知Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是关于x的一元二次方程m（x²-2x）+5（x²+x）+12=0的两个实根，求实数m的值．

解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sinA=

a

c

，sinB=

b

c

，
∴sin²A+sin²B=

a2+b2

c2

=

c2

c2

=1，
∵sinA、sinB是关于x的一元二次方程m（x²-2x）+5（x²+x）+12=0的两个实根，
即sinA、sinB是关于x的一元二次方程（m+5）x²-（2m-5）x+12=0的两个实根，
∴sinA+sinB=

2m-5

m+5

，sinA·sinB=

12

m+5

，
∴sin²A+sin²B=（sinA+sinB）²-2sinA·sinB=（

2m-5

m+5

）²-2×

12

m+5

=1，
即m²-18m-40=0，
解得：m=20或m=-2．
当m=20时，可得：△=25＞0，符合题意；
当m=-2时，可得：△=-7＜0，不符合题意，舍去．
∴实数m的值为20．
解：∵Rt△ABC中，∠C=90°，
∴sinA=

a

c

，sinB=

b

c

，
∴sin²A+sin²B=

a2+b2

c2

=

c2

c2

=1，
∵sinA、sinB是关于x的一元二次方程m（x²-2x）+5（x²+x）+12=0的两个实根，
即sinA、sinB是关于x的一元二次方程（m+5）x²-（2m-5）x+12=0的两个实根，
∴sinA+sinB=

2m-5

m+5

，sinA·sinB=

12

m+5

，
∴sin²A+sin²B=（sinA+sinB）²-2sinA·sinB=（

2m-5

m+5

）²-2×

12

m+5

=1，
即m²-18m-40=0，
解得：m=20或m=-2．
当m=20时，可得：△=25＞0，符合题意；
当m=-2时，可得：△=-7＜0，不符合题意，舍去．
∴实数m的值为20．