试题

题目：
设a、b、c是直角三角形的三边，c为斜边，n为正整数，试判断an+bn与cn的关系，并证明你的结论．
答案
解：当n=1，则a+b＞c；
当n=2，则a2+b2=c2；
当n≥3，则an+bn＜cn，
证明如下：
∵sinA=
a
c
，cosA=
b
c
，
而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴n≥3，sinnA＜sin2A，connA＜con2A，
∴sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即(
a
c
) n+(
b
c
) n＜1，
∴an+bn＜cn．
解：当n=1，则a+b＞c；
当n=2，则a2+b2=c2；
当n≥3，则an+bn＜cn，
证明如下：
∵sinA=
a
c
，cosA=
b
c
，
而0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，
∴n≥3，sinnA＜sin2A，connA＜con2A，
∴sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即(
a
c
) n+(
b
c
) n＜1，
∴an+bn＜cn．
考点梳理
锐角三角函数的增减性．
分类讨论：当n=1，根据三角形三边的关系有a+b＞c；当n=2，根据勾股定理有n2+b2=c2；当n≥3，根据三角函数的定义得到
sinA=
a
c
，cosA=
b
c
，且0＜sinA＜1，0＜cosA＜1，于是有sinnA＜sin2A，connA＜con2A，得到sinnA+connA＜sin2A+con2A=1，
即(
a
c
) n+(
b
c
) n＜1，即可得到它们的关系．
本题考查了三角函数的定义和它们的性质；也考查了代数式的变形能力和分类思想的运用以及勾股定理．
证明题；分类讨论．
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