试题

已知：在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA、sinB是方程x²+px+q=0的两个根．
（1）求实数p、q应满足的条件；
（2）若p、q满足（1）的条件，方程x²+px+q=0的两个根是否等于Rt△ABC中两锐角A、B的正弦？

解：（1）∵sinA、sinB是方程x²+px+q=0的两个根，
∴sinA+sinB=-p，即sinA+cosA=-p，
∴

2

sin（A+45°）=-p
∵0°＜A＜90°，
∴1＜-p≤

2

，
∴-

2

≤p＜-1
∵sinA·sinB=q，即sinA·cosA=q，
∴sin2A=2q，
∴0＜q＜

1

2

，
∵sin²A+sinB²=（sinA+sinB）²-2sinA·sinB
∴p²-2q=1，
∴实数p、q应满足的条件是：p²-2q=1，∴-

2

≤p＜-1，0＜q≤

1

2

．
（2）∵0＜q≤

1

2

，设sin2A=2q，
则2A=2a，或180°-2a，
即A=a或90°-a，
∵sina和sin（90°-a）是方程的两根，即它们是直角三角形的两个锐角的正弦值．
解：（1）∵sinA、sinB是方程x²+px+q=0的两个根，
∴sinA+sinB=-p，即sinA+cosA=-p，
∴

2

sin（A+45°）=-p
∵0°＜A＜90°，
∴1＜-p≤

2

，
∴-

2

≤p＜-1
∵sinA·sinB=q，即sinA·cosA=q，
∴sin2A=2q，
∴0＜q＜

1

2

，
∵sin²A+sinB²=（sinA+sinB）²-2sinA·sinB
∴p²-2q=1，
∴实数p、q应满足的条件是：p²-2q=1，∴-

2

≤p＜-1，0＜q≤

1

2

．
（2）∵0＜q≤

1

2

，设sin2A=2q，
则2A=2a，或180°-2a，
即A=a或90°-a，
∵sina和sin（90°-a）是方程的两根，即它们是直角三角形的两个锐角的正弦值．