试题

题目：
青果学院（2002·达州）已知：如图，正方形ABCD中，O是AC与BD的交点，∠DAC的平分线AP交CD于点P，∠BDC的平分线DQ交AC于点Q．求证：
BD
CD
=
AP
BQ
．
答案
证明：∵ABCD是正方形，
∴BD=AC，CD=BC，∠ACP=∠BCQ=45°．
∵∠DAC的平分线为AP，∠BDC的平分线为DQ，
∴∠PAC=∠CBQ=22.5°．
∴△ACP∽△BCQ．
∴
AC
BC
=
AP
BQ
．
∴
BD
CD
=
AP
BQ
．
证明：∵ABCD是正方形，
∴BD=AC，CD=BC，∠ACP=∠BCQ=45°．
∵∠DAC的平分线为AP，∠BDC的平分线为DQ，
∴∠PAC=∠CBQ=22.5°．
∴△ACP∽△BCQ．
∴
AC
BC
=
AP
BQ
．
∴
BD
CD
=
AP
BQ
．
考点梳理
正方形的性质；角平分线的性质；相似三角形的判定与性质．
欲证
BD
CD
=
AP
BQ
，可通过证明△ACP∽△BCQ得出结论．
此题主要考查相似三角形的判定以及正方形的一些基本性质．
证明题．
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