试题

（2002·东城区）已知如图P是⊙O直径AB延长线上的一点，割线PCD交⊙O于C、D两点，弦DF⊥AB于点H，CF交AB于点E．
（l）求证：PA·PB=PO·PE；
（2）若DE⊥CF，∠P=15°，⊙O的半径为2，求弦CF的长．

（1）证明：连接OD．
∵AB是⊙O的直径，且DF⊥AB于D点H，
∴

AD

=

AF

=

1

2

DF

．
∴∠AOD=∠DCF．
∴∠POD=∠PCE．
∵∠DPO=∠EPC，
∴△DPO∽△EPC．
∴

PD

PE

=

PO

PC

．
即PO·PE=PD·PC．
又PD·PC=PA·PB，
∴PA·PB=PO·PE．

（2）解：由（1）知：
AB是弦DF的垂直平分线，
∴DE=EF．
∴∠DEA=∠FEA．
∵DE⊥CF，
∴∠DEA=∠FEA=45°．
∴∠FEA=∠CEP=45°．
∵∠P=15°，
∴∠AOD=60°．
在Rt△DHO中
∵∠AOD=60°，OD=2，
∴OH=1，DH=

3

．
∵△DHE是等腰直角三角形，
∴DE=

6

．
又∵∠AOD=∠DCF，∠DHO=∠DEC=90°，
∴△DHO∽△DEC．
∴

DH

DE

=

HO

EC

．
∴

3

6

=

1

EC

．
∴EC=

2

．
∴CF=CE+EF=CE+DE=

2

+

6

．
（1）证明：连接OD．
∵AB是⊙O的直径，且DF⊥AB于D点H，
∴

AD

=

AF

=

1

2

DF

．
∴∠AOD=∠DCF．
∴∠POD=∠PCE．
∵∠DPO=∠EPC，
∴△DPO∽△EPC．
∴

PD

PE

=

PO

PC

．
即PO·PE=PD·PC．
又PD·PC=PA·PB，
∴PA·PB=PO·PE．

（2）解：由（1）知：
AB是弦DF的垂直平分线，
∴DE=EF．
∴∠DEA=∠FEA．
∵DE⊥CF，
∴∠DEA=∠FEA=45°．
∴∠FEA=∠CEP=45°．
∵∠P=15°，
∴∠AOD=60°．
在Rt△DHO中
∵∠AOD=60°，OD=2，
∴OH=1，DH=

3

．
∵△DHE是等腰直角三角形，
∴DE=

6

．
又∵∠AOD=∠DCF，∠DHO=∠DEC=90°，
∴△DHO∽△DEC．
∴

DH

DE

=

HO

EC

．
∴

3

6

=

1

EC

．
∴EC=

2

．
∴CF=CE+EF=CE+DE=

2

+

6

．