试题

（2002·杭州）如图，⊙O₁与⊙O₂外切于点C，⊙O₁与⊙O₂的连心线与外公切线相交于点P，外公切线与两圆的切点分别为A、B，且AC=4，BC=5．
（1）求线段AB的长；
（2）证明：PC²=PA·PB．

（1）解：PAB切⊙O₁与⊙O₂与A、B，
∴AO₁⊥PA，BO₂⊥PB
∴AO₁∥BO₂
∴∠AO₁O₂+∠BO₂O₁=180°
又在△AO₁C和△BO₂C中，内角和为360°
∴∠O₁AC+∠O₁CA+∠O₂BC+∠O₂CB=180°
∵O₁A=O₁C，O₂B=O₂C
∴∠O₁AC=∠O₁CA，∠O₂BC=∠O₂CB
∴∠ACO₁+∠BCO₂=90°
∴∠ACB=90°
∴在RT△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

41

；

（2）证明：由（1），知∠ACO₁+∠BCO₂=90°
而∠O₂BC=∠O₂CB，且∠O₂BC+∠CBA=90°
∴∠PCA=∠PBC
又∠P为公共角
∴△PAC∽△PCB
∴

PC

PB

=

PA

PC

即PC²=PA·PB．
（1）解：PAB切⊙O₁与⊙O₂与A、B，
∴AO₁⊥PA，BO₂⊥PB
∴AO₁∥BO₂
∴∠AO₁O₂+∠BO₂O₁=180°
又在△AO₁C和△BO₂C中，内角和为360°
∴∠O₁AC+∠O₁CA+∠O₂BC+∠O₂CB=180°
∵O₁A=O₁C，O₂B=O₂C
∴∠O₁AC=∠O₁CA，∠O₂BC=∠O₂CB
∴∠ACO₁+∠BCO₂=90°
∴∠ACB=90°
∴在RT△ABC中，AB=

AC2+BC2

=

41

；

（2）证明：由（1），知∠ACO₁+∠BCO₂=90°
而∠O₂BC=∠O₂CB，且∠O₂BC+∠CBA=90°
∴∠PCA=∠PBC
又∠P为公共角
∴△PAC∽△PCB
∴

PC

PB

=

PA

PC

即PC²=PA·PB．