试题

（2005·常德）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的弦，⊙O的割线PDE垂直AB于点F，交BC于点G，连接PC，∠BAC=∠BCP，求解下列问题：
（1）求证：CP是⊙O的切线．
（2）当∠ABC=30°，BG=2

3

，CG=4

3

时，求以PD、PE的长为两根的一元二次方程．
（3）若（1）的条件不变，当点C在劣弧AD上运动时，应再具备什么条件可使结论BG²=BF·BO成立？试写出你的猜想，并说明理由．

（1）证明：连接OC，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∵∠OCB=∠B，∠BAC=∠BCP，
∴∠OCP=90°．
∴CP是⊙O的切线．

（2）解：∵∠B=30°，
∴∠A=60°，∠BGP=∠B+∠BFP=120°．
∴∠CGP=60°，
∴∠BCP=∠CGP=60°．
∴△CPG是正三角形．
∴PG=CP=4

3

．
∵PC切⊙O于C，
∴PC²=PD·PE=(4

3

)2=48．
又∵BC=6

3

，
∴AB=12，FD=3

3

，FG=

3

．
∴PD=2

3

．
∴PD+PE=2

3

+8

3

=10

3

．
∴以PD、PE为两根的一元二次方程为x²-10

3

x+48=0．

（3）解：当G为BC中点，OG⊥BC，OG∥AC或∠BOG=∠BAC时，
结论BG²=BF·BO成立．要让此结论成立，只要证明△BFG∽△BGO即可，凡是能使△BFG∽△BGO的条件都可以．
（1）证明：连接OC，
∵∠ACB=90°，
∴∠A+∠B=90°．
∵∠OCB=∠B，∠BAC=∠BCP，
∴∠OCP=90°．
∴CP是⊙O的切线．

（2）解：∵∠B=30°，
∴∠A=60°，∠BGP=∠B+∠BFP=120°．
∴∠CGP=60°，
∴∠BCP=∠CGP=60°．
∴△CPG是正三角形．
∴PG=CP=4

3

．
∵PC切⊙O于C，
∴PC²=PD·PE=(4

3

)2=48．
又∵BC=6

3

，
∴AB=12，FD=3

3

，FG=

3

．
∴PD=2

3

．
∴PD+PE=2

3

+8

3

=10

3

．
∴以PD、PE为两根的一元二次方程为x²-10

3

x+48=0．

（3）解：当G为BC中点，OG⊥BC，OG∥AC或∠BOG=∠BAC时，
结论BG²=BF·BO成立．要让此结论成立，只要证明△BFG∽△BGO即可，凡是能使△BFG∽△BGO的条件都可以．