试题

题目：
青果学院（2005·杭州）已知AC切⊙O于A，CB顺次交⊙O于D、B点，AC=8，BD=12，连接AD、AB．
（1）证明：△CAD∽△CBA；
（2）求线段DC的长．
答案
（1）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAD=∠B．
又∵∠ACD=∠BCA，
∴△CAD∽△CBA．

（2）解：由△CAD∽△CBA得
CD
AC
=
AC
BC
，
∴
CD
8
=
8
CD+12
，
∴CD2+12CD-64=0，
解得CD=4或CD=-12＜0（舍去），
∴CD=4．
（1）证明：∵AC是⊙O的切线，
∴∠CAD=∠B．
又∵∠ACD=∠BCA，
∴△CAD∽△CBA．

（2）解：由△CAD∽△CBA得
CD
AC
=
AC
BC
，
∴
CD
8
=
8
CD+12
，
∴CD2+12CD-64=0，
解得CD=4或CD=-12＜0（舍去），
∴CD=4．
考点梳理
切线的性质；相似三角形的判定与性质．
（1）要证△CAD∽△CBA，已知∠C公共，只需证明另一对角相等即可，根据弦切角定理即可得到∠CAD=∠B．
（2）求线段DC的长，可以通过证明△CAD∽△CBA得
CD
AC
=
AC
BC
，求出DC．
本题主要考查相似三角形的判定和性质．
综合题．
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