试题

（2005·呼和浩特）如图1，AB是⊙O的直径，直线l交⊙O于C₁、C₂，AD⊥l，垂足为D．
（1）求证：AC₁·AC₂=AB·AD．
（2）若将直线l向上平移（如图2），交⊙O于C₁、C₂，使弦C₁C₂与直径AB相交（交点不与A、B重合），其他条件不变，请你猜想，AC₁、AC₂、AB、AD之间的关系，并说明理由．
（3）若将直线l平移到与⊙O相切时，切点为C，其他条件不变，请你在图3上画出变化后的图形，标好相应的字母并猜想AC、AB、AD的关系是什么？（只写出关系，不加以说明）

（1）证明：连接BC₂．
∵AB为直径，∴∠BC₂A=90度．
∵AD⊥l，即∠ADC₁=90°，
∴∠BC₂A=∠ADC₁．
又∵∠B=∠AC₁D，
∴△ABC₂∽△AC₁D．
∴

AC2

AD

=

AB

AC1

．
∴AC₁·AC₂=AB·AD．

（2）解：当l向上平移后，连接BC₂．
∵AB为直径，
∴∠BC₂A=90度．
∵AD⊥l，即∠ADC₁=90°，
∴∠BC₂A=∠ADC₁．
又∵∠B=∠AC₁D，
∴△ABC₂∽△AC₁D．
∴

AC2

AD

=

AB

AC1

．
∴AC₁·AC₂=AB·AD．

（3）解：AC²=AB·AD．
画草图．

（1）证明：连接BC₂．
∵AB为直径，∴∠BC₂A=90度．
∵AD⊥l，即∠ADC₁=90°，
∴∠BC₂A=∠ADC₁．
又∵∠B=∠AC₁D，
∴△ABC₂∽△AC₁D．
∴

AC2

AD

=

AB

AC1

．
∴AC₁·AC₂=AB·AD．

（2）解：当l向上平移后，连接BC₂．
∵AB为直径，
∴∠BC₂A=90度．
∵AD⊥l，即∠ADC₁=90°，
∴∠BC₂A=∠ADC₁．
又∵∠B=∠AC₁D，
∴△ABC₂∽△AC₁D．
∴

AC2

AD

=

AB

AC1

．
∴AC₁·AC₂=AB·AD．

（3）解：AC²=AB·AD．
画草图．