试题

（2005·黄石）已知：⊙O₁与⊙O₂相交于A、B两点，⊙O₁的切线AC交⊙O₂于点C．直线EF过点B交⊙O₁于点E，交⊙O₂于点F．
（1）若直线EF交弦AC于点K时（如图1）．求证：AE∥CF；
（2）若直线EF交弦AC的延长线于点时（如图2）．求证：DA·DF=DC·DE；
（3）若直线EF交弦AC的反向延长线于点（在图3自作），试判断（1）、（2）中的结论是否成立并证明你的正确判断．

（1）证明：连接AB．

∵AC是⊙O₁的切线，
∴∠E=∠1，
又∵∠F=∠1．
∴∠E=∠F．
∴AE∥CF．

（2）证明：连接AB．
∵AC是⊙O₁的切线，
∴∠E=∠1，
又∵A、B、F、C在⊙O₂上，
∴∠2=∠1．
∴∠E=∠2，
又∠D=∠D，
∴△ADE∽△CDF．
∴

DA

DC

=

DE

DF

，
∴DA·DF=DC·DE．

（3）解：（1）（2）中的结论都成立．
证明：如图3．
∵∠C=∠B=∠DAE，
∴AE∥CF．
又∠D=∠D，
∴△ADE∽△CDF．
∴

DA

DC

=

DE

DF

，
∴DA·DF=DC·DE．
（1）证明：连接AB．

∵AC是⊙O₁的切线，
∴∠E=∠1，
又∵∠F=∠1．
∴∠E=∠F．
∴AE∥CF．

（2）证明：连接AB．
∵AC是⊙O₁的切线，
∴∠E=∠1，
又∵A、B、F、C在⊙O₂上，
∴∠2=∠1．
∴∠E=∠2，
又∠D=∠D，
∴△ADE∽△CDF．
∴

DA

DC

=

DE

DF

，
∴DA·DF=DC·DE．

（3）解：（1）（2）中的结论都成立．
证明：如图3．
∵∠C=∠B=∠DAE，
∴AE∥CF．
又∠D=∠D，
∴△ADE∽△CDF．
∴

DA

DC

=

DE

DF

，
∴DA·DF=DC·DE．