试题

（2005·吉林）如图1，在梯形ABCD中，AB=BC=10cm，CD=6cm，∠C=∠D=90°．
（1）如图2，动点P、Q同时以每秒1cm的速度从点B出发，点P沿BA，AD，DC运动到点C停止，点Q沿BC运动到点C停止，设P、Q同时从点B出发t秒时，△PBQ的面积为y₁（cm²），求y₁（cm²）关于t（秒）的函数关系式；
（2）如图3，动点P以每秒1cm的速度从点B出发沿BA运动，点E在线段CD上随之运动，且PC=PE．设点P从点B出发t秒时，四边形PADE的面积为y₂（cm²），求y₂（cm²）关于t（秒）的函数关系式，并写出自变量t的取值范围．

解：（1）过点A作AM⊥BC于M，如图1，则AM=6，BM=8，
∴AD=MC=2．
过点P作PN⊥BC于N，则△PNB∽△AMB，
∴

PN

AM

=

BP

BA

．
∴

PN

6

=

t

10

．
∴PN=

3

5

t．
①当点P在BA上运动时，
y₁=

1

2

BQ·NP=

1

2

t·

3

5

t=

3

10

t²；
②当点P在AD上运动时，BQ=BC=10，PN=DC=6，
y₁=

1

2

BQ·NP=

1

2

×10×6=30；
③当点P在DC上运动时，
y₁=

1

2

BQ·CP=

1

2

×10（10+2+6-t）=-5t+90．

（2）过点P作PF⊥CD于F，PH⊥BC于H，如图2，
∵∠BCD=90°，
∴四边形PHCF是矩形，
∴FC=EF=PH=

3

5

t，
在Rt△BHP中，BH=

BP2-PH2

=

t2-( 3 5 t)2

=

4

5

t，
∴PF=BC-HB=10-

4

5

t．
∴y₂=S_梯形ABCD-S_△BPC-S_△PEC=

1

2

（2+10）×6-

1

2

×10×

3

5

t-

1

2

×

6

5

t（10-

4

5

t）
=

12

25

t²-9t+36
当CE=CD时，

6

5

t=6，
∴t=5．
∴自变量t的取值范围是0≤t≤5．
解：（1）过点A作AM⊥BC于M，如图1，则AM=6，BM=8，
∴AD=MC=2．
过点P作PN⊥BC于N，则△PNB∽△AMB，
∴

PN

AM

=

BP

BA

．
∴

PN

6

=

t

10

．
∴PN=

3

5

t．
①当点P在BA上运动时，
y₁=

1

2

BQ·NP=

1

2

t·

3

5

t=

3

10

t²；
②当点P在AD上运动时，BQ=BC=10，PN=DC=6，
y₁=

1

2

BQ·NP=

1

2

×10×6=30；
③当点P在DC上运动时，
y₁=

1

2

BQ·CP=

1

2

×10（10+2+6-t）=-5t+90．

（2）过点P作PF⊥CD于F，PH⊥BC于H，如图2，
∵∠BCD=90°，
∴四边形PHCF是矩形，
∴FC=EF=PH=

3

5

t，
在Rt△BHP中，BH=

BP2-PH2

=

t2-( 3 5 t)2

=

4

5

t，
∴PF=BC-HB=10-

4

5

t．
∴y₂=S_梯形ABCD-S_△BPC-S_△PEC=

1

2

（2+10）×6-

1

2

×10×

3

5

t-

1

2

×

6

5

t（10-

4

5

t）
=

12

25

t²-9t+36
当CE=CD时，

6

5

t=6，
∴t=5．
∴自变量t的取值范围是0≤t≤5．