试题

题目：
青果学院（1998·金华）如图，已知：在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AC⊥BC，DG⊥AC，过B作EB⊥AB，交AC的延长线于E．
（1）求证：AD2=AC·CE；
（2）当BE=CD时，求证：△DCG≌△EBC．
答案
证明：（1）∵等腰梯形ABCD，AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB．
∵AC⊥BC，EB⊥AB，
∴∠EBC=∠CAB，∠CEB=∠CBA．
∴△ACB∽△BCE．
∴
AC
BC
=
BC
CE
．
即BC2=AC·CE．
∵等腰梯形ABCD，
∴AD=BC．
∴AD2=AC·CE；

（2）∵由（1）知∠EBC=∠BCG=∠CAB，
∵BE=CD，∠BCE=∠CGD，
∴△DCG≌△EBC．
证明：（1）∵等腰梯形ABCD，AB∥CD，
∴∠DCA=∠CAB．
∵AC⊥BC，EB⊥AB，
∴∠EBC=∠CAB，∠CEB=∠CBA．
∴△ACB∽△BCE．
∴
AC
BC
=
BC
CE
．
即BC2=AC·CE．
∵等腰梯形ABCD，
∴AD=BC．
∴AD2=AC·CE；

（2）∵由（1）知∠EBC=∠BCG=∠CAB，
∵BE=CD，∠BCE=∠CGD，
∴△DCG≌△EBC．
考点梳理
等腰梯形的性质；直角三角形全等的判定；相似三角形的判定与性质．
（1）因为等腰梯形ABCD，AB∥CD，所以∠DCA=∠CAB，又因为AC⊥BC，EB⊥AB，所以∠EBC=∠CAB，所以△ACB∽△BCE，得
AC
BC
=
BC
CE
，即BC2=AC·CE，又AD=BC，所以AD2=AC·CE
（2）由（1）可知∠EBC=∠BCG=∠CAB，又BE=CD，∠BCE=∠CGD，所以△DCG≌△EBC
本题中（1）主要考查了相似三角形的判定和等腰梯形的性质，（2）考查了全等三角形的判定
证明题．
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