试题

（1999·河南）如图，已知在△ABC中，∠B=90°．O是AB上一点，以O为圆心，OB为半径的半圆与AB交于点E，与AC切于点D，AD=2，AE=1．求证：S_△AOD、S_△BCD是方程10x²-51x+54=0的两个根．

证明：∵AD是切线，
∴AD²=AE·AB．
由AD=2，AE=1，得AB=4．
从而OD=

3

2

．
∵∠ABC=90°，
∴AC²=BC²+AB²，且BC是⊙O的切线．
∵CD是⊙O的切线，
∴BC=CD．
∴（2+BC）²=BC²+4²，
解得BC=3．
∵OD⊥AD，
∴S_△AOD=

1

2

AD·OD=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．
作BH⊥AC于H，则Rt△AOD∽Rt△ABH．
∴

OD

BH

=

AO

AB

，
即

3 2

BH

=

1+ 3 2

4

，
∴BH=

12

5

．
∴S_△BCD=CD·BH=

1

2

×3×

12

5

=

18

5

．
而S_△AOD+S_△BCD=

3

2

+

18

5

=

51

10

，
S_△AOD·S_△BCD=

3

2

×

18

5

=

54

10

，
∴S_△AOD、S_△BCD是方程10x²-51x+54=0的两个根．
证明：∵AD是切线，
∴AD²=AE·AB．
由AD=2，AE=1，得AB=4．
从而OD=

3

2

．
∵∠ABC=90°，
∴AC²=BC²+AB²，且BC是⊙O的切线．
∵CD是⊙O的切线，
∴BC=CD．
∴（2+BC）²=BC²+4²，
解得BC=3．
∵OD⊥AD，
∴S_△AOD=

1

2

AD·OD=

1

2

×2×

3

2

=

3

2

．
作BH⊥AC于H，则Rt△AOD∽Rt△ABH．
∴

OD

BH

=

AO

AB

，
即

3 2

BH

=

1+ 3 2

4

，
∴BH=

12

5

．
∴S_△BCD=CD·BH=

1

2

×3×

12

5

=

18

5

．
而S_△AOD+S_△BCD=

3

2

+

18

5

=

51

10

，
S_△AOD·S_△BCD=

3

2

×

18

5

=

54

10

，
∴S_△AOD、S_△BCD是方程10x²-51x+54=0的两个根．