试题

（2005·南通）如图，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC=90°，AB=2DC，对角线AC⊥BD，垂足为F，过点F作EF∥AB，交AD于点E，CF=4cm．
（1）求证：四边形ABFE是等腰梯形；
（2）求AE的长．

（1）证明：过点D作DM⊥AB，
∵DC∥AB，∠CBA=90°，
∴四边形BCDM为矩形．
∴DC=MB．
∵AB=2DC，
∴AM=MB=DC．
∵DM⊥AB，
∴AD=BD．
∴∠DAB=∠DBA．
∵EF∥AB，AE与BF交于点D，即AE与FB不平行，
∴四边形ABFE是等腰梯形．

（2）解：∵DC∥AB，
∴△DCF∽△BAF．
∴

CD

AB

=

CF

AF

=

1

2

．
∵CF=4cm，
∴AF=8cm．
∵AC⊥BD，∠ABC=90°，
在△ABF与△BCF中，
∵∠ABC=∠BFC=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°，
∵∠FBC+∠ABF=90°，
∴∠FAB=∠FBC，
∴△ABF∽△BCF（AA），即

BF

CF

=

AF

BF

，
∴BF²=CF·AF．
∴BF=4

2

cm．
∴AE=BF=4

2

cm．
（1）证明：过点D作DM⊥AB，
∵DC∥AB，∠CBA=90°，
∴四边形BCDM为矩形．
∴DC=MB．
∵AB=2DC，
∴AM=MB=DC．
∵DM⊥AB，
∴AD=BD．
∴∠DAB=∠DBA．
∵EF∥AB，AE与BF交于点D，即AE与FB不平行，
∴四边形ABFE是等腰梯形．

（2）解：∵DC∥AB，
∴△DCF∽△BAF．
∴

CD

AB

=

CF

AF

=

1

2

．
∵CF=4cm，
∴AF=8cm．
∵AC⊥BD，∠ABC=90°，
在△ABF与△BCF中，
∵∠ABC=∠BFC=90°，
∴∠FAB+∠ABF=90°，
∵∠FBC+∠ABF=90°，
∴∠FAB=∠FBC，
∴△ABF∽△BCF（AA），即

BF

CF

=

AF

BF

，
∴BF²=CF·AF．
∴BF=4

2

cm．
∴AE=BF=4

2

cm．