试题

题目：
（2005·陕西）已知：如图，AB是⊙O的直径，点P在BA的延长线上，PD切⊙O于点C，BD⊥PD，垂足为D，连接BC．青果学院
求证：（1）BC平分∠PBD；
（2）BC2=AB·BD．
答案
青果学院证明：（1）连接OC．（1分）
∵PD切⊙O于点C，
又∵BD⊥PD，
∴OC∥BD．
∴∠1=∠3．（2分）
又∵OC=OB，
∴∠2=∠3．（3分）
∴∠1=∠2，即BC平分∠PBD．（4分）

（2）连接AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．（5分）
又∵BD⊥PD，
∴∠ACB=∠CDB=90°（6分）
又∵∠1=∠2，
∴△ABC∽△CBD；（7分）
∴
AB
CB
=
BC
BD
，∴BC2=AB·BD．（8分）
青果学院证明：（1）连接OC．（1分）
∵PD切⊙O于点C，
又∵BD⊥PD，
∴OC∥BD．
∴∠1=∠3．（2分）
又∵OC=OB，
∴∠2=∠3．（3分）
∴∠1=∠2，即BC平分∠PBD．（4分）

（2）连接AC．
∵AB是⊙O的直径，
∴∠ACB=90°．（5分）
又∵BD⊥PD，
∴∠ACB=∠CDB=90°（6分）
又∵∠1=∠2，
∴△ABC∽△CBD；（7分）
∴
AB
CB
=
BC
BD
，∴BC2=AB·BD．（8分）
考点梳理
切线的性质；平行线的性质；角平分线的性质；圆周角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）连接OC．可发现∠OCB和∠DBC同为∠DCB的余角，而∠OCB=∠OBC，由此可得∠OBC=∠DBC，即BC平分∠PBD；
（2）连接AC．证明△ABC∽△CBD即可．
此题综合考查了平行线、等腰三角形、相似三角形和圆周角的性质．
证明题．
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