试题

题目：
（2005·仙桃）已知：如图，BD是⊙O的直径，过圆上一点A作⊙O的切线交DB的延长线于P，过B点作BC∥P青果学院A交⊙O于C，连接AB、AC．
（1）求证：AB=AC；
（2）若PA=10，PB=5，求⊙O的半径和AC的长．
答案
青果学院（1）证明：∵BC∥AP
∴∠1=∠2
∵PA切圆于点A
∴∠1=∠C
∴∠2=∠C
∴AB=AC

（2）解：∵PA2=PB·PD
即102=5×（5+2×OB）
∴OB=
15
2
，∴⊙O的半径为7.5
∵PDA∽△PAB
∴
AD
AB
=
PA
PB
=
10
5
=2
∵BD2=AB2+AD2，即152=AB2+（2AB）2
∴AB=3
5
，即AC=3
5
．
青果学院（1）证明：∵BC∥AP
∴∠1=∠2
∵PA切圆于点A
∴∠1=∠C
∴∠2=∠C
∴AB=AC

（2）解：∵PA2=PB·PD
即102=5×（5+2×OB）
∴OB=
15
2
，∴⊙O的半径为7.5
∵PDA∽△PAB
∴
AD
AB
=
PA
PB
=
10
5
=2
∵BD2=AB2+AD2，即152=AB2+（2AB）2
∴AB=3
5
，即AC=3
5
．
考点梳理
切割线定理；勾股定理；弦切角定理；相似三角形的判定与性质．
（1）根据弦切角定理得到∠1=∠C和平行线的性质定理得到∠1=∠2，则∠2=∠C，从而证明结论；
（2）根据切割线定理即可求得圆的半径，要求AC的长，只需求得AB的长．根据直角三角形的勾股定理和AB：AD的值联立求解．
此题综合运用了弦切角定理、切割线定理、相似三角形的性质和勾股定理．
综合题．
找相似题