试题

题目：
青果学院（2011·上海）如图，在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=DC，过点D作DE⊥BC，垂足为E，并延长DE至F，使EF=DE．连接BF、CF、AC．
（1）求证：四边形ABFC是平行四边形；
（2）如果DE2=BE·CE，求证：四边形ABFC是矩形．
答案
青果学院证明：（1）连接BD
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD
∴AC=BD
∵DE⊥BC，EF=DE
∴BD=BF，CD=CF
∴AC=BF，AB=CF
∴四边形ABCF是平行四边形；

（2）∵DE2=BE·CE
∴
DE
BE
=
CE
DE
，
∵∠DEB=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DEC，
∴∠CDE=∠DBE，
∴∠BFC=∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠BDE+∠DBE=90°，
∴四边形ABFC是矩形．
青果学院证明：（1）连接BD
∵梯形ABCD中，AD∥BC，AB=CD
∴AC=BD
∵DE⊥BC，EF=DE
∴BD=BF，CD=CF
∴AC=BF，AB=CF
∴四边形ABCF是平行四边形；

（2）∵DE2=BE·CE
∴
DE
BE
=
CE
DE
，
∵∠DEB=∠DEC=90°，
∴△BDE∽△DEC，
∴∠CDE=∠DBE，
∴∠BFC=∠BDC=∠BDE+∠CDE=∠BDE+∠DBE=90°，
∴四边形ABFC是矩形．
考点梳理
等腰梯形的性质；全等三角形的判定与性质；平行四边形的判定与性质；相似三角形的判定与性质．
（1）连接BD，利用等腰梯形的性质得到AC=BD，再根据垂直平分线的性质得到DB=FB，从而得到AC=BF，然后证得AC∥BF，利用一组对边平行且相等判定平行四边形；
（2）利用题目提供的等积式和两直角相等可以证得两直角三角形相似，得到对应角相等，从而得到直角来证明有一个角是直角的平行四边形是矩形．
本题考查了等腰梯形的性质、全等及相似三角形的判定及性质等，是一道集合了好几个知识点的综合题，但题目的难度不算大．
证明题；压轴题．
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