试题

题目：
（2011·武汉）（1）如图1，在△ABC中，点D、E、Q分别在AB、AC、BC上，且DE∥BC，AQ交DE于点P，求证：
DP
BQ
=
PE
QC
；
（2）如图，△ABC中，∠BAC=90°，正方形DEFG的四个顶点在△ABC的边上，连接AG，AF分别交DE于M，N两点．
①如图2，若AB=AC=1，直接写出MN的长；
②如图3，求证：MN2=DM·EN．
青果学院
答案
（1）证明：在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴
DP
BQ
=
AP
AQ
，
同理在△ACQ和△APE中，
EP
CQ
=
AP
AQ
，
∴
DP
BQ
=
PE
QC
．

（2）①作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高AQ=
2
2
，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB=1：3，
∴AD=
1
3
，DE=
2
3
，
∵DE边上的高为
2
6
，MN：GF=
2
6
：
2
2
，
∴MN：
2
3
=
2
6
：
2
2
，
∴MN=
2
9
．
故答案为：
2
9
．
青果学院
②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴
DG
CF
=
BG
EF
，
∴DG·EF=CF·BG，
又∵DG=GF=EF，
∴GF2=CF·BG，
由（1）得
DM
BG
=
MN
GF
=
EN
FC
，
∴
MN
GF
×
MN
GF
=
DM
BG
·
EN
CF
，
∴（
MN
GF
）2=
DM
BG
·
EN
CF
，
∵GF2=CF·BG，
∴MN2=DM·EN．
（1）证明：在△ABQ和△ADP中，
∵DP∥BQ，
∴△ADP∽△ABQ，
∴
DP
BQ
=
AP
AQ
，
同理在△ACQ和△APE中，
EP
CQ
=
AP
AQ
，
∴
DP
BQ
=
PE
QC
．

（2）①作AQ⊥BC于点Q．
∵BC边上的高AQ=
2
2
，
∵DE=DG=GF=EF=BG=CF
∴DE：BC=1：3
又∵DE∥BC，
∴AD：AB=1：3，
∴AD=
1
3
，DE=
2
3
，
∵DE边上的高为
2
6
，MN：GF=
2
6
：
2
2
，
∴MN：
2
3
=
2
6
：
2
2
，
∴MN=
2
9
．
故答案为：
2
9
．
青果学院
②证明：∵∠B+∠C=90°∠CEF+∠C=90°，
∴∠B=∠CEF，
又∵∠BGD=∠EFC，
∴△BGD∽△EFC，
∴
DG
CF
=
BG
EF
，
∴DG·EF=CF·BG，
又∵DG=GF=EF，
∴GF2=CF·BG，
由（1）得
DM
BG
=
MN
GF
=
EN
FC
，
∴
MN
GF
×
MN
GF
=
DM
BG
·
EN
CF
，
∴（
MN
GF
）2=
DM
BG
·
EN
CF
，
∵GF2=CF·BG，
∴MN2=DM·EN．
考点梳理
相似三角形的判定与性质；正方形的性质．
（1）可证明△ADP∽△ABQ，△ACQ∽△ADP，从而得出
DP
BQ
=
PE
QC
；
（2）①根据三角形的面积公式求出BC边上的高
2
2
，根据△ADE∽△ABC，求出正方形DEFG的边长
2
3
，根据
MN
GF
等于高之比即可求出MN；
②可得出△BGD∽△EFC，则DG·EF=CF·BG；又由DG=GF=EF，得GF2=CF·BG，再根据（1）
DM
BG
=
MN
BF
=
EN
FC
，从而得出答案．
本题考查了相似三角形的判定和性质以及正方形的性质，是一道综合题目，难度较大．
压轴题．
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