试题

（2010·思明区质检）已知正方形ABCD的边长为2，点E、F均在直线BD上，且∠EAF=135°，EB：DF=1：2．
（1）求CF；
（2）在直线BD上是否存在点P，使A、E、P三点围成的三角形是直角三角形？若存在求出EP的长，不存在请说明理由．

解：（1）∵正方形ABCD，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，即∠ADF=∠CDF=135°，
在△ADF和△CDF中，

AD=CD ∠ADF=∠CDF DF=DF

∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴AF=CF，
又∠EAF=∠EAB+∠BAD+∠DAF=135°，且∠BAD=90°，
∴∠EAB+∠DAF=45°，而∠ABD=∠EAB+∠AEB=45°，
∴∠DAF=∠AEB，∠ABE=∠ADF=135°，
∴△AEB∽△FAD，
设EB=x，则DF=2x，AB=AD=2，
∴

x

2

=

2

2x

，解得x=

2

，则DF=2

2

，
连接AC交BD与O，由正方形ABCD，得到AC⊥BD，O为BD中点，
∴OD=OA=

2

，则OF=OD+DF=3

2

，
在直角三角形OAF中，根据勾股定理得：
AF²=AO²+OF²=2+18=20，解得AF=2

5

，则CF=2

5

；

（2）存在．
当P与（1）中的正方形中心O重合时，△AEP为直角三角形，
由（1）得到OB=BE=

2

，∴EP=2

2

；
过A作AP⊥AE，与BD交于点P，此时△AEP为直角三角形，
根据题意画出图形，如图所示：

由题意可知：∠PAE=∠AOE=90°，∠AOE=∠PEA，
∴△AEO∽△PEA，∴AE²=EO·EP，
AE=

EO2+AO2

=

10

，EO=2

2

，
则EP=

10

2 2

=

5 2

2

．
EP的长为2

2

或

5 2

2

．
解：（1）∵正方形ABCD，
∴AD=DC，∠ADB=∠CDB=45°，即∠ADF=∠CDF=135°，
在△ADF和△CDF中，

AD=CD ∠ADF=∠CDF DF=DF

∴△ADF≌△CDF（SAS），
∴AF=CF，
又∠EAF=∠EAB+∠BAD+∠DAF=135°，且∠BAD=90°，
∴∠EAB+∠DAF=45°，而∠ABD=∠EAB+∠AEB=45°，
∴∠DAF=∠AEB，∠ABE=∠ADF=135°，
∴△AEB∽△FAD，
设EB=x，则DF=2x，AB=AD=2，
∴

x

2

=

2

2x

，解得x=

2

，则DF=2

2

，
连接AC交BD与O，由正方形ABCD，得到AC⊥BD，O为BD中点，
∴OD=OA=

2

，则OF=OD+DF=3

2

，
在直角三角形OAF中，根据勾股定理得：
AF²=AO²+OF²=2+18=20，解得AF=2

5

，则CF=2

5

；

（2）存在．
当P与（1）中的正方形中心O重合时，△AEP为直角三角形，
由（1）得到OB=BE=

2

，∴EP=2

2

；
过A作AP⊥AE，与BD交于点P，此时△AEP为直角三角形，
根据题意画出图形，如图所示：

由题意可知：∠PAE=∠AOE=90°，∠AOE=∠PEA，
∴△AEO∽△PEA，∴AE²=EO·EP，
AE=

EO2+AO2

=

10

，EO=2

2

，
则EP=

10

2 2

=

5 2

2

．
EP的长为2

2

或

5 2

2

．