试题

已知：抛物线y=x²+bx+c与x轴的两个交点分别为A（1，0）和B（3，0），与y轴交于点C．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）在抛物线上是否存在一点P，使得以点P、A、B为顶点的三角形的面积为1？如果存在，请求出所有满足条件的P点的坐标．

解：（1）由题意得：

1+b+c=0 9+3b+c=0

，
解得

b=-4 c=3

，
∴y=x²-4x+3；

（2）据题意得：AB=2，
要使得以点P．A．B为顶点的三角形的面积为1，则高为1，
当y=1时，x²-4x+3=1，
∴x₁=2+

2

，x₂=2-

2

，
当y=-1时，x²-4x+3=-1，
∴x₁=x₂=2，
所以满足条件的P点的坐标为（2-

2

，1）；（2+

2

，1）；（2，-1）．
解：（1）由题意得：

1+b+c=0 9+3b+c=0

，
解得

b=-4 c=3

，
∴y=x²-4x+3；

（2）据题意得：AB=2，
要使得以点P．A．B为顶点的三角形的面积为1，则高为1，
当y=1时，x²-4x+3=1，
∴x₁=2+

2

，x₂=2-

2

，
当y=-1时，x²-4x+3=-1，
∴x₁=x₂=2，
所以满足条件的P点的坐标为（2-

2

，1）；（2+

2

，1）；（2，-1）．