试题

题目：
青果学院如图，是二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）的图象的一部分，给出下列命题：①abc＜0；②b＞2a；③a+b+c=0；④ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1．其中正确的命题是
①③④
①③④
．
答案
①③④

解：∵抛物线开口向上，
∴a＞0，
∵抛物线的对称轴为直线x=-
b
2a
=-1，
∴b=2a＞0，所以②错误；
∵抛物线与y轴的交点在x轴下方，
∴c＜0，
∴abc＜0，所以①正确；
∵x=1时，y=0，
∴a+b+c=0，所以③正确；
∵点（1，0）关于直线x=-1的对称点为（-3，0），
∴ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1，所以④正确．
故答案为①③④．
考点梳理
二次函数图象与系数的关系．
根据抛物线开口方向得a＞0，有抛物线对称轴得到b=2a＞0，由抛物线与y轴的交点位置得c＜0，所以abc＜0；根据x=1时的函数值为0得到a+b+c=0；由于点（1，0）关于直线x=-1的对称点为（-3，0），根据抛物线的对称性得到抛物线与x轴的交点坐标为（-3，0）、（1，0），所以ax2+bx+c=0的两根分别为-3和1．
本题考查了二次函数图象与系数的关系：二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小：当a＞0时，抛物线向上开口；当a＜0时，抛物线向下开口；一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置：当a与b同号时（即ab＞0），对称轴在y轴左； 当a与b异号时（即ab＜0），对称轴在y轴右；常数项c决定抛物线与y轴交点：抛物线与y轴交于（0，c）；抛物线与x轴交点个数：△=b2-4ac＞0时，抛物线与x轴有2个交点；△=b2-4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点；△=b2-4ac＜0时，抛物线与x轴没有交点．
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