试题

题目：
如图，已知⊙O的半径为1，PQ是⊙O的直径，n个相同的正三角形沿PQ排成一列，所有正三角形都关于PQ对称，其中第一个△A1B1C1的顶点A1与点P重合，第二个△A2B2C2的顶点A2是B1C1与PQ的交点，…，最后一个△AnBnCn的顶点Bn、Cn在圆上．如图1，当n=1时，正三角形的边长a1=
3
3
；如图2，当n=2时，正三角形的边长a2=
8
13
3
8
13
3
；如图3，正三角青果学院形的边长an=
4n
3
1+3n2
4n
3
1+3n2
（用含n的代数式表示）．
答案
3

8
13
3

4n
3
1+3n2

青果学院解：（1）设PQ与B1C1交于点D，连接OB1，则OD=A1D-OA1=
3
2
a1-1，
在Rt△OB1D中，OB12=B1D2+OD2，
即12=（
1
2
a1）2+（
3
2
a1-1）2，
解得，a1=
3
；

（2）设PQ与B2C2交于点E，连接OB2，则OE=2A1A2-OA1=
3
a2-1，
在Rt△OB2E中，OB22=B2E2+OE2，
即12=（
1
2
a2）2+（
3
a2-1）2，
解得，a2=
8
3
13
；

（3）设PQ与BnCn交于点F，连接OBn，则OF=
3
2
nan-1，
在Rt△OBnF中，OBn2=BnF2+OF2，
即12=（
1
2
an）2+（
3
2
nan-1）2，
解得，an=
4
3
n
3n2+1
．

故答案为：
3
，
8
3
13
，
4
3
n
3n2+1
．
考点梳理
正多边形和圆．
（1）设PQ与B1C1交于点D，连接OB1，由特殊角的三角函数值可得，OD=A1D-OA1=
3
2
a1-1，再由勾股定理即可求出a1的值；
（2）设PQ与B2C2交于点E，连接OB2，由特殊角的三角函数值可得OE=2A1A2-OA1=
3
a2-1，再由Rt△OB2E勾股定理即可求出a2的值；
（3）设PQ与BnCn交于点F，连接OBn，则OF=
3
2
nan-1，在Rt△OBnF中利用勾股定理可得，an=
4
3
n
3n2+1
．
本题考查的是正多边形与圆及特殊角的三角函数值，根据题意作出辅助线，找出规律是解答此题的关键．
压轴题；规律型．
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