试题

题目：
高为6cm的等边三角形的面积是
12
3
cm2
12
3
cm2
，它的外接圆的外切正三角形的面积是
48
3
cm2
48
3
cm2
．
答案
12
3
cm2

48
3
cm2

青果学院解：如图，AD是等边△ABC的边BC上的高，AD=6cm，
∴AB=
AD
sin60°
=
6
3
2
=4
3
（cm），
∴△ABC的面积=
1
2
×4
3
×6=12
3
（cm2）；
如图，等边△ABC的外接圆⊙O的外切正三角形是△MNP，连结OM．
青果学院∵AD=6cm，
∴OA=
2
3
AD=4cm．
∵∠OMA=30°，∠OAM=90°，
∴AM=
3
OA=4
3
cm．
∴S△MNP=6S△AOM=6×
1
2
×4
3
×4=48
3
cm2．
故答案为12
3
cm2；48
3
cm2．
考点梳理
正多边形和圆．
先根据题意画出图形，再由等边三角形的内角是60°利用三角函数可求得其高，根据面积公式求出等边三角形的面积；
先根据题意画出图形，连结OM，再由正多边形的内心、外心、重心都重合为一点，由重心的性质得出OA=
2
3
AD=4cm，然后在△OMA中求出AM=4
3
cm，则S△MNP=6S△AOM．
此题考查了圆的内接三角形和外切三角形，根据正三角形的性质和三角函数，求出半径和边心距的长是解题的关键．
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