试题

题目：
观察等式：
1
1×2
=1-
1
2
，
          
1
2×3
=
1
2
-
1
3
，
         
1
3×4
=
1
3
-
1
4
，
将以上三个等式两边分别相加得
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
=1-
1
2
+
1
2
 -
1
3
+
1
3
-
1
4
=1-
1
4
=
3
4
．
（1）猜想并写出：
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
1
n
-
1
n+1
．
（2）直接写出下式的计算结果：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2010×2011
=
2010
2011
2010
2011
．
（3）探究并计算：
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
2009×2011
=
1005
2011
1005
2011
．
答案
1
n
-
1
n+1

2010
2011

1005
2011

解：（1）由已知等式，得
1
n(n+1)
=
1
n
-
1
n+1
，
故答案为：
1
n
-
1
n+1
；
    
（2）由分数拆分，抵消规律可知，
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
2010×2011
=
2010
2011
，
故答案为：
2010
2011
；
     
（3）
1
1×3
+
1
3×5
+
1
5×7
+…+
1
2009×2011
=
1
2
（
2
1×3
+
2
3×5
+
2
5×7
+…+
2
2009×2011
）
=
1
2
（1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+
1
5
-
1
7
+…+
1
2009
-
1
2011
）
=
1
2
（1-
1
2011
）
=
1005
2011
．
故答案为：
1005
2011
．
考点梳理
有理数的混合运算．
（1）观察已知等式，由特殊到一般，得出结论；
（2）由（1）的结论，将每个分数化为两个分数，寻找抵消规律，计算结果；
（3）与（2）比较，分母的两个因数相差2，故各分子需要乘以2，才能将一个分数拆分为两个分数，再寻找抵消规律．
本题考查的是有理数的运算能力．关键是根据已知等式，由特殊到一般，得出分数的拆分规律和抵消规律．
规律型．
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