试题

题目：
已知1-
1
2
=
1
2
，
1
2
-
1
3
=
1
6
，
1
3
-
1
4
=
1
12
，…根据这些等式解答下列各题：
（1）求值：
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+
1
4×5
+
1
5×6
；
（2）化简
1
1×2
+
1
2×3
+
1
3×4
+…+
1
n(n+1)
；
（3）用类似方法计算
1
1×3
+
1
3×5
+
1
7×9
+…+
1
2007×2009
．
答案
解：（1）原式=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
5
-
1
6
=1-
1
6
=
5
6
；
（2）原式=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1
=
n
n+1
；
（3）原式=
1
2
（1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2007
-
1
2009
）=
1
2
（1-
1
2009
）=
1004
2009
．
解：（1）原式=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
5
-
1
6
=1-
1
6
=
5
6
；
（2）原式=1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…
1
n
-
1
n+1
=1-
1
n+1
=
n
n+1
；
（3）原式=
1
2
（1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2007
-
1
2009
）=
1
2
（1-
1
2009
）=
1004
2009
．
考点梳理
有理数的混合运算．
（1）根据已知等式可以把各分数分解为1-
1
2
+
1
2
-
1
3
+…+
1
5
-
1
6
，即可求出结果；
（2）和（1）的方法一样，把各分数分解为1-
1
2
+
1
2
-
1
3
…
1
n
-
1
n+1
，然后前后抵消即可求出结果；
（3）把各分数分解为
1
2
（1-
1
3
+
1
3
-
1
5
+…+
1
2007
-
1
2009
），然后括号里面可以利用前面的方法计算．
此题关键用到的知识点为：
1
mn
=
1
m-n
×（
1
n
-
1
m
）．
规律型．
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