试题

题目：
（2006·乌兰察布）如图，在△ABC中，已知∠ABC=90°，AB上一点E，以BE为直径的⊙O恰与AC相切于点D，青果学院若AE=2cm，AD=4cm．
（1）求：⊙O的直径BE的长；
（2）计算：△ABC的面积．
答案
解：（1）∵AD是切线，AEB是圆的割线，
∴AD2=AE·AB=AE（AE+BE），解得BE=6cm；

（2）∵∠B=90°，
∴CB也是圆的切线，
∵CD也是圆的切线，则有CD=BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB2+BC2=AC2即82+BC2=（4+BC）2，解得BC=6cm，
∴S△ABC=
1
2
AB·BC=24cm2．
解：（1）∵AD是切线，AEB是圆的割线，
∴AD2=AE·AB=AE（AE+BE），解得BE=6cm；

（2）∵∠B=90°，
∴CB也是圆的切线，
∵CD也是圆的切线，则有CD=BC，
在Rt△ABC中，由勾股定理知，AB2+BC2=AC2即82+BC2=（4+BC）2，解得BC=6cm，
∴S△ABC=
1
2
AB·BC=24cm2．
考点梳理
切线的性质；圆周角定理．
（1）由切割线定理知，AD2=AE·AB=AE（AE+BE），由此可求得BE的长；
（2）由切线长定理知，CD=BC，由勾股定理知，AB2+BC2=AC2即82+BC2=（4+BC）2，解得BC=6，则可由直角三角形的面积公式求得△ABC的面积．
本题利用了切割线定理、切线长定理、勾股定理、切线的判定和性质、直角三角形的面积公式求解．
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