试题

（2007·长沙）如图，Rt△ABC中，∠C=90°，O为直角边BC上一点，以O为圆心，OC为半径的圆恰好与斜边AB相切于点D，与BC交于另一点E．
（1）求证：△AOC≌△AOD；
（2）若BE=1，BD=3，求⊙O的半径及图中阴影部分的面积S．

（1）证明：∵AB切⊙O于D，
∴OD⊥AB，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
在Rt△AOC和Rt△AOD中，

OC=OD AO=AO

∴Rt△AOC≌Rt△AOD（HL）．

（2）解：设半径为r，在Rt△ODB中，
r²+3²=（r+1）²，解得r=4；
由（1）有AC=AD，AB=AD+DB=AC+DB=AC+3，BC=BE+2r=1+8=9，
在直角三角形ABC中，
根据勾股定理得：AC²+9²=（AC+3）²，解得AC=12，
∴S=

1

2

AC·BC-

1

2

πr²=

1

2

×12×9-

1

2

π×4²=54-8π．
（1）证明：∵AB切⊙O于D，
∴OD⊥AB，
∵Rt△ABC中，∠C=90°，
在Rt△AOC和Rt△AOD中，

OC=OD AO=AO

∴Rt△AOC≌Rt△AOD（HL）．

（2）解：设半径为r，在Rt△ODB中，
r²+3²=（r+1）²，解得r=4；
由（1）有AC=AD，AB=AD+DB=AC+DB=AC+3，BC=BE+2r=1+8=9，
在直角三角形ABC中，
根据勾股定理得：AC²+9²=（AC+3）²，解得AC=12，
∴S=

1

2

AC·BC-

1

2

πr²=

1

2

×12×9-

1

2

π×4²=54-8π．