试题

（2007·达州）如图，平行四边形ABCD中，E、F分别是BC、AD边上的点，四边形AECF是⊙O的内接四边形，且AC是⊙O的直径．
（1）求证：BE=DF；
（2）若BA与⊙O相切，BC=10cm，BE：CE=3：2，求AC的长．

（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中

∠B=∠D ∠AEB=∠CFD AB=CD

，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF；
（2）解：∵BA与⊙O相切，
∴∠BAC=90°，
∵BC=10cm，BE：CE=3：2，
∴CE=4cm，
∵∠ACE=∠BCA，
∴Rt△CAE∽Rt△CBA，
∴CA：CB=CE：CA，即CA：10=4：CA，
∴CA=2

10

（cm）．
（1）证明：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB=CD，∠B=∠D，
∵AC是⊙O的直径，
∴∠AEC=∠AFC=90°，
∴∠AEB=∠CFD=90°，
在△ABE和△CDF中

∠B=∠D ∠AEB=∠CFD AB=CD

，
∴△ABE≌△CDF，
∴BE=DF；
（2）解：∵BA与⊙O相切，
∴∠BAC=90°，
∵BC=10cm，BE：CE=3：2，
∴CE=4cm，
∵∠ACE=∠BCA，
∴Rt△CAE∽Rt△CBA，
∴CA：CB=CE：CA，即CA：10=4：CA，
∴CA=2

10

（cm）．