试题

（2008·天津）如图，在梯形ABCD中，AB∥CD，⊙O为内切圆，E为切点，
（Ⅰ）求∠AOD的度数；
（Ⅱ）若AO=8cm，DO=6cm，求OE的长．

解：（Ⅰ）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°；
∵⊙O内切于梯形ABCD，
∴AO平分∠BAD，有∠DAO=

1

2

∠BAD，
DO平分∠ADC，有∠ADO=

1

2

∠ADC，
∴∠DAO+∠ADO=

1

2

（∠BAD+∠ADC）=90°，
∴∠AOD=180°-（∠DAO+∠ADO）=90°；

（Ⅱ）∵在Rt△AOD中，AO=8cm，DO=6cm，
∴由勾股定理，得AD=

AO2+DO2

=10cm，
∵E为切点，
∴OE⊥AD，则有∠AEO=90°，
∵S_△AOD=

1

2

OD·OA=

1

2

AD·OE；
∴OE=

AO·OD

AD

=4.8cm．
解：（Ⅰ）∵AB∥CD，
∴∠BAD+∠ADC=180°；
∵⊙O内切于梯形ABCD，
∴AO平分∠BAD，有∠DAO=

1

2

∠BAD，
DO平分∠ADC，有∠ADO=

1

2

∠ADC，
∴∠DAO+∠ADO=

1

2

（∠BAD+∠ADC）=90°，
∴∠AOD=180°-（∠DAO+∠ADO）=90°；

（Ⅱ）∵在Rt△AOD中，AO=8cm，DO=6cm，
∴由勾股定理，得AD=

AO2+DO2

=10cm，
∵E为切点，
∴OE⊥AD，则有∠AEO=90°，
∵S_△AOD=

1

2

OD·OA=

1

2

AD·OE；
∴OE=

AO·OD

AD

=4.8cm．