试题

题目：
青果学院（2012·岱岳区二模）半径为2的⊙O与正方形ABCD相切于点P、Q，弦MN=2
3
，且MN在正方形的对角线BD上，则正方形的边长为
4+
2
或4-
2
4+
2
或4-
2
．
答案
4+
2
或4-
2

青果学院解：①当圆心O在对角线BD的上方时，
取BD的中点E，连接AE，OM，ON，OP，OQ，
∵BD是正方形ABCD的对角线，
∴AE⊥BD，
∵⊙O与正方形ABCD相切于点P、Q，
∴OP⊥AB，OQ⊥AD，
∵OP=OQ，
∴四边形APOQ是正方形，
∴OA=
2
OQ=2
2
，
∴∠QAE=∠PAE，
∴AE过⊙O的圆心O，
∴OE⊥BD，
∵OM=ON=2，MN=2
3
，
∴OE=1，
∴AE=OA+OE=2
2
+1，
∴AB=
AE
sin45°
=
2
AE=4+2
2
，
②当圆心O在对角线BD的下方时，
有①可知AE=OA-OE=2
2
-1，
∴AB=
AE
sin45°
=
2
AE=4-2
2

故答案为：4+2
2
或4-2
2
．
考点梳理
切线的性质；勾股定理；正方形的性质；垂径定理．
首先取BD的中点E，连接AE，OM，ON，OP，OQ，由BD是正方形ABCD的对角线，可得AE⊥BD，又由⊙O与正方形ABCD相切于点P、Q，证得四边形APOQ是正方形，根据切线长定理，可得AE过圆心O，则可求得OE与OA的长，可得AE的长，继而求得答案，解题时注意对圆心位置的讨论．
此题考查了切线的性质、正方形的判定与性质、切线长定理以及三角函数等知识．此题综合性较强，难度较大，解题的关键是准确作出辅助线，利用数形结合思想求解．
压轴题．
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