试题

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，CD=2

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cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径．动点P从A点开始沿AD边向点D以1 厘米/秒的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3厘米/秒的速度运动，P、Q 分别从A、C两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为 t 秒，求：
（1）求⊙O的直径；
（2）求四边形PQCD的面积y关于P、Q运动时间t的函数关系式；并求t为何值时，四边形PQCD为平行四边形？
（3）是否存在某一时刻t，使直线PQ与⊙O相切，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由．

解：（1）过点D作DE⊥BC于E，
∴BE=AD=24，
又∵BC=26，
∴EC=2，…（2分）
在Rt△DCE中，由于CD=2

17

，
则DE=

CD2-EC2

=8，
所以⊙O的直径为8厘米．…（4分）

（2）当P，Q运动t秒时，由点P，Q的运动速度为1厘米/秒和3厘米/秒，
则AP=t厘米；CQ=3t厘米
所以PD=（24-t）厘米，BQ=（26-3t）厘米，…（5分）
所以四边形PQCD的面积为：y=

1

2

CQ·AB+

1

2

PD·AB…（6分）
则：y=

1

2

AB·(CQ+PD)=

1

2

×8×(3t+24-t)
即：y=8t+96(0≤t≤

26

3

)…（7分）
当四边形PQCD为平行四边形时
则：PD=CQ
∴24-t=3t              …（8分）
解得：t=6厘米
即t=6厘米时，四边形PQCD为平行四边形． …（9分）

（3）存在．           …（10分）
若PQ与圆相切，切点G，作PH⊥BC于H，
所以PH=AB=8，AP=t，
BH=QB-HQ=（26-3t）-t=26-4t，PQ=BQ+AP=26-2 t，…（11分）
根据勾股定理得PQ²=PH²+QH²，
所以（26-2t）²=64+（26-4t）²，…（12分）
解得t₁=

2

3

，t₂=8，…（13分）
因为t₁=

2

3

和t₂=8都在0≤t≤

26

3

内，所以在t=

2

3

秒或t=8秒时，存在直线PQ与圆相切．…（14分）

解：（1）过点D作DE⊥BC于E，
∴BE=AD=24，
又∵BC=26，
∴EC=2，…（2分）
在Rt△DCE中，由于CD=2

17

，
则DE=

CD2-EC2

=8，
所以⊙O的直径为8厘米．…（4分）

（2）当P，Q运动t秒时，由点P，Q的运动速度为1厘米/秒和3厘米/秒，
则AP=t厘米；CQ=3t厘米
所以PD=（24-t）厘米，BQ=（26-3t）厘米，…（5分）
所以四边形PQCD的面积为：y=

1

2

CQ·AB+

1

2

PD·AB…（6分）
则：y=

1

2

AB·(CQ+PD)=

1

2

×8×(3t+24-t)
即：y=8t+96(0≤t≤

26

3

)…（7分）
当四边形PQCD为平行四边形时
则：PD=CQ
∴24-t=3t              …（8分）
解得：t=6厘米
即t=6厘米时，四边形PQCD为平行四边形． …（9分）

（3）存在．           …（10分）
若PQ与圆相切，切点G，作PH⊥BC于H，
所以PH=AB=8，AP=t，
BH=QB-HQ=（26-3t）-t=26-4t，PQ=BQ+AP=26-2 t，…（11分）
根据勾股定理得PQ²=PH²+QH²，
所以（26-2t）²=64+（26-4t）²，…（12分）
解得t₁=

2

3

，t₂=8，…（13分）
因为t₁=

2

3

和t₂=8都在0≤t≤

26

3

内，所以在t=

2

3

秒或t=8秒时，存在直线PQ与圆相切．…（14分）