试题

如图，已知直径与等边△ABC的高相等的圆O分别与边AB、BC相切于点D、E，边AC过圆心O与圆O相交于点F、G．
（1）求证：DE∥AC；
（2）若△ABC的边长为a，求△ECG的面积．

解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，∠C=60°；
∵AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，
∴BD=BE，
∴∠BDE=60°，∠A=60°，有DE∥AC．

（2）分别连接OD、OE，作EH⊥AC于点H．
∵AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，O是圆心，
∴∠ADO=∠OEC=90°，OD=OE，AD=EC．
∴△ADO≌△CEO，有AO=OC=

1

2

a．
∵圆O的直径等于△ABC的高，得半径OG=

3

4

a，
∴CG=OC+OG=

1

2

a+

3

4

a，
∵EH⊥OC，∠C=60°，
∴∠COE=30°，EH=

3

8

a；
∵S_△ECG=

1

2

CG·EH=

1

2

（

3

4

a+

1

2

a）·

3

8

a，
∴S△ECG=

3

64

a2+

3

32

a2=

3+2 3

64

a2．
解：（1）∵△ABC是等边三角形，
∴∠B=60°，∠C=60°；
∵AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，
∴BD=BE，
∴∠BDE=60°，∠A=60°，有DE∥AC．

（2）分别连接OD、OE，作EH⊥AC于点H．
∵AB、BC是圆O的切线，D、E是切点，O是圆心，
∴∠ADO=∠OEC=90°，OD=OE，AD=EC．
∴△ADO≌△CEO，有AO=OC=

1

2

a．
∵圆O的直径等于△ABC的高，得半径OG=

3

4

a，
∴CG=OC+OG=

1

2

a+

3

4

a，
∵EH⊥OC，∠C=60°，
∴∠COE=30°，EH=

3

8

a；
∵S_△ECG=

1

2

CG·EH=

1

2

（

3

4

a+

1

2

a）·

3

8

a，
∴S△ECG=

3

64

a2+

3

32

a2=

3+2 3

64

a2．