试题

题目：
青果学院（2011·浙江模拟）如图，AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，D是⊙O上的一点，且AD∥OC，OC与BD交于E，若AO=2，BC=2
3
，求：（1）∠A的度数； （2）DE的长．
答案
解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
而AO=2，则OB=2，
∵BC=2
3
，
∴tan∠COB=
2
3
2
=
3
，
∴∠COB=60°，
又∵AD∥OC，
∴∠A=60°；

（2）∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=4，∠A=60°，
∴AD=2，
∴BD=
3
AD=2
3
，
又∵AD∥OC，
∴OE⊥BD，
∴DE=BE，
∴DE=
1
2
BD=
3
．
解：（1）∵AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，
∴∠OBC=90°，
而AO=2，则OB=2，
∵BC=2
3
，
∴tan∠COB=
2
3
2
=
3
，
∴∠COB=60°，
又∵AD∥OC，
∴∠A=60°；

（2）∵AB为直径，
∴∠ADB=90°，
∵AB=4，∠A=60°，
∴AD=2，
∴BD=
3
AD=2
3
，
又∵AD∥OC，
∴OE⊥BD，
∴DE=BE，
∴DE=
1
2
BD=
3
．
考点梳理
切线的性质；圆周角定理．
（1）由AB是⊙O的直径，BC是⊙O的切线，根据切线的性质得到∠OBC=90°，而AO=2，OB=2，BC=2
3
，根据三角函数即可求出∠COB=60°，又AD∥OC，即可得到∠A．
（2）由AB为直径，根据圆周角定理的推论得到∠ADB=90°，再利用含30度的直角三角形三边的关系得到BD=
3
AD=2
3
，而
OE⊥BD，根据垂径定理得到DE=BE，于是可得到DE的长．
本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于过切点的半径；也考查了直径所对的圆周角为直角以及含30度的直角三角形三边的关系．
计算题．
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